Seja C o trecho da circunferência de raio 19 e centro (0,0) no primeiro quadrante, percorrido no sentido anti-horário. A integral
integralC x d x+y d y
é igual a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral de linha sobre um trecho de circunferência. Isso envolve matérias de cálculo diferencial e integral, como parametrização de curvas e integrais de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C . Ela é um segmento de uma circunferência com raio 19 e centro na origem (0,0), no primeiro quadrante. Isso significa que C vai de (19, 0) até (0, 19), percorrendo no sentido anti-horário.

Passo 3

A integral que queremos calcular é:
integralC x , dx + y , dy
Isso é uma integral de linha de um campo vetorial F = (x, y) .

Passo 4

Vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi . Nesse caso, phi = 12x^2 + 12y^2 , porque:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) = (x, y)
Então, sim, F é conservativo.

Passo 5

Quando o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva C . A gente pode usar a fórmula:
integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A)
onde A é o ponto inicial e B o ponto final.

Passo 6

Vamos calcular phi nos pontos inicial e final:
  • Ponto inicial A = (19, 0) :
phi(19, 0) = 12(19)^2 + 12(0)^2 = 3612 + 0 = 3612
  • Ponto final B = (0, 19) :
phi(0, 19) = 12(0)^2 + 12(19)^2 = 0 + 3612 = 3612

Passo 7

Agora, subtraímos os valores da função potencial:
phi(B) - phi(A) = 3612 - 3612 = 0

Resposta

A integral é igual a 0 .

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