Seja
o trecho da circunferência de raio 19 e centro
no primeiro quadrante, percorrido no sentido anti-horário. A integral
é igual a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral de linha sobre um trecho de circunferência. Isso envolve matérias de cálculo diferencial e integral, como parametrização de curvas e integrais de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é um segmento de uma circunferência com raio 19 e centro na origem
, no primeiro quadrante. Isso significa que
vai de
até
, percorrendo no sentido anti-horário.
Passo 3
A integral que queremos calcular é:
Isso é uma integral de linha de um campo vetorial
.
Passo 4
Vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Nesse caso,
, porque:
Então, sim,
é conservativo.
Passo 5
Quando o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva
. A gente pode usar a fórmula:
onde
é o ponto inicial e
o ponto final.
Passo 6
Vamos calcular
nos pontos inicial e final:
- Ponto inicial
:
- Ponto final
:
Passo 7
Agora, subtraímos os valores da função potencial:
Resposta
A integral é igual a
.