Sejam f(x)=x^3+2 x^2 e g(x)=3 x^2-1. Encontre a) f+g, b) f-g, c) f g, d) f / g e defina seus dominios.

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=x^3+2x^2
e
g(x)=3x^2-1
e pede para calcular as operações f+g, f-g, fcdot g e tfracfg, além de determinar o domínio de cada uma. Vamos usar que polinômios têm domínio R e que, em geral, para soma, diferença e produto de funções o domínio é a interseção dos domínios; para quociente devemos excluir zeros do denominador.

Passo 2

Calculando a soma:
(f+g)(x)=l(x^3+2x^2r)+l(3x^2-1r) =x^3+(2x^2+3x^2)-1 =x^3+5x^2-1
Como f e g são polinômios, cada uma tem domínio R, logo
dom(f+g)=R

Passo 3

Calculando a diferença:
(f-g)(x)=l(x^3+2x^2r)-l(3x^2-1r) =x^3+2x^2-3x^2+1 =x^3-x^2+1
Novamente, como são polinômios,
dom(f-g)=R

Passo 4

Calculando o produto:
(fcdot g)(x)=l(x^3+2x^2r),(3x^2-1) =3x^5+6x^4-x^3-2x^2
E o domínio é
dom(fcdot g)=R

Passo 5

Calculando o quociente:
l(tfracfgr)(x) =x^3+2x^23x^2-1
O domínio é a interseção dos domínios de f e g, excluindo os x tais que 3x^2-1=0, i.e.\ x^2=tfrac13, logo x=pmtfrac1raiz3. Assim
doml(tfracfgr) =Rsetminuslpmtfrac1raiz3r

Resposta

(a) f+g=x^3+5x^2-1,\quad dom(f+g)=R.
(b) f-g=x^3-x^2+1,\quad dom(f-g)=R.
(c) fcdot g=3x^5+6x^4-x^3-2x^2,\quad dom(fcdot g)=R.
(d) tfracfg=dfracx^3+2x^23x^2-1,\quad doml(tfracfgr)=Rsetminuspmtfrac1raiz3.

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