Calcule as integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral abaixo usando técnicas de cálculo de primitivas, em particular integração por substituição. Para isso, vamos precisar lembrar que a derivada de tan x é sec^2 x e usar a regra da cadeia.
integral 18,tan^2 x,sec^2 xl(2 + tan^3 xr)^2,dx

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 2 + tan^3 x
Calculamos a diferencial de u:
du = 3,tan^2 x,sec^2 x,dx
Logo,
tan^2 x,sec^2 x,dx = du3

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral 18,tan^2 x,sec^2 xl(2 + tan^3 xr)^2,dx = integral 18u^2 cdot du3 = 6 integral u^-2,du
Aqui transformamos toda a expressão em função de u.

Passo 4

Agora integramos em u:
6 integral u^-2,du = 6 cdot u^-1-1 + C = -6,u^-1 + C

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = 2 + tan^3 x. Assim a primitiva é:
-62 + tan^3 x + C

Resposta

-\frac{6}{2 + \tan^3 x} + C

Exercícios relacionados