Mostre que
e que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a extensão analítica de
no plano complexo satisfaz
e, em seguida, provar que sua derivada é
. Vamos usar a definição de função inversa (
implica
), as fórmulas de
e
em termos de exponenciais e propriedades de logaritmo.
Passo 2
Começamos definindo
, ou seja,
Substituindo
tenho
Multiplicando em cruz:
Reagrupando termos em
e
chega-se a
Passo 3
Agora aplicamos logaritmo natural aos dois lados:
Usamos
e a identidade
(obtida multiplicando numerador e denominador por
$$w=-\frac{i}{2}\ln\frac{1+iz}{1-iz}=\frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}.
Passo 4
Para a derivada, partimos de
$$\arctan z=\frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}.
Então
$$\frac{d}{dz}\ln\frac{U}{V}=\frac{U’}{U}-\frac{V’}{V}=rac{1}{i+z}-\bigl(-\frac{1}{i-z}\bigr)=\frac{1}{i+z}+\frac{1}{i-z}.
$$