Mostre que arctan z=imath2 log a+zimath-z e que (arctan z)^prime=11+z^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a extensão analítica de arctan z no plano complexo satisfaz arctan z=i2lni+zi-z e, em seguida, provar que sua derivada é 11+z^2. Vamos usar a definição de função inversa ( w=arctan z implica z=tan w), as fórmulas de sin w e cos w em termos de exponenciais e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Começamos definindo w=arctan z, ou seja,
z=tan w=sin wcos w
Substituindo
sin w=e^iw-e^-iw2i, cos w=e^iw+e^-iw2,
tenho
z=e^iw-e^-iwi,(e^iw+e^-iw)
Multiplicando em cruz:
e^iw-e^-iw=iz,(e^iw+e^-iw)
Reagrupando termos em e^iw e e^-iw chega-se a
e^2iw=1+iz1-iz

Passo 3

Agora aplicamos logaritmo natural aos dois lados:
2i,w=ln1+iz1-iz Longrightarrow w=12iln1+iz1-iz
Usamos 1/(2i)=-i/2 e a identidade
1-iz1+iz=i+zi-z
(obtida multiplicando numerador e denominador por i) para escrever
$$w=-\frac{i}{2}\ln\frac{1+iz}{1-iz}=\frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}.
w=-i2ln1+iz1-iz=i2lni+zi-z í\arctan z=\frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}.$$

Passo 4

Para a derivada, partimos de
$$\arctan z=\frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}.
arctan z=i2lni+zi-z U(z)=i+z,\quad V(z)=i-z.$$
Então
$$\frac{d}{dz}\ln\frac{U}{V}=\frac{U’}{U}-\frac{V’}{V}= rac{1}{i+z}-\bigl(-\frac{1}{i-z}\bigr)=\frac{1}{i+z}+\frac{1}{i-z}.
U(z)=i+z, V(z)=i-zçõ\frac{1}{i+z}+\frac{1}{i-z}=\frac{(i-z)+(i+z)}{(i+z)(i-z)}=\frac{2i}{i2-z2}=-\frac{2i}{1+z^2}.
ddzlnUV=U'U-V'V= rac1i+z-l(-1i-zr)=1i+z+1i-z á\bigl(\arctan z\bigr)’=\frac{i}{2}\Bigl(-\frac{2i}{1+z2}\Bigr)=\frac{1}{1+z2}.
$$

Resposta

arctan z=tfraci2lntfraci+zi-z,(arctan z)'=tfrac11+z^2

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