Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão
Passo 1
Enunciado: verificar que a função f(x,y,z)=e^{3x+4y}\cos(5z) satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3:
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.
Passo 2
Calcular
e
. Como
, ao derivar em relação a x tratamos
como constante:
Passo 3
Calcular
. De modo análogo, derivando em relação a y e tratando
como constante:
Passo 4
Calcular
. Agora derivamos em relação a z, onde só o
varia:
Passo 5
Somar as segundas derivadas:
Resposta
Como a soma das derivadas de segunda ordem é zero, ou seja,
, concluímos que a função satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3.