Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão 3, partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0
f(x, y, z)=e^3 x+4 y cos (5 z)

Passo 1

Enunciado: verificar que a função f(x,y,z)=e^{3x+4y}\cos(5z) satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3: fxx+fyy+fzz=0. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Calcular fx e fxx. Como f(x,y,z)=e^3x+4ycos(5z), ao derivar em relação a x tratamos cos(5z) como constante:
fx=3e^3x+4ycos(5z),
fxx=9e^3x+4ycos(5z)

Passo 3

Calcular fyy. De modo análogo, derivando em relação a y e tratando cos(5z) como constante:
fy=4e^3x+4ycos(5z),
fyy=16e^3x+4ycos(5z)

Passo 4

Calcular fzz. Agora derivamos em relação a z, onde só o cos(5z) varia:
fz=-5e^3x+4ysin(5z),
fzz=-25e^3x+4ycos(5z)

Passo 5

Somar as segundas derivadas:
fxx+fyy+fzz=(9+16-25)e^3x+4ycos(5z)=0

Resposta

Como a soma das derivadas de segunda ordem é zero, ou seja, fxx+fyy+fzz=0, concluímos que a função satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3.

Exercícios relacionados