Calcule as integrais:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de um campo vetorial no intervalo de 1 a 2. Isso cai no conteúdo de integrais de funções vetoriais, onde a gente pode integrar cada componente separadamente usando a propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Para funções vetoriais do tipo vec F(t)=P(t),vec i+Q(t),vec j+R(t),vec k, vale que
integrala^bvec F(t),dt=l(integrala^bP(t),dtr),vec i+l(integrala^bQ(t),dtr),vec j+l(integrala^bR(t),dtr),vec k
Aqui temos P(t)=1+t^2, Q(t)=-4t^4 e R(t)=-(t^2-1).

Passo 3

Vamos integrar a componente vec i:
integral1^2(1+t^2),dt=l[t+tfract^33r]1^2=(2+tfrac83)-(1+tfrac13)=tfrac143-tfrac43=tfrac103
Agora a componente vec j:
integral1^2(-4t^4),dt=-4integral1^2t^4,dt=-4l[tfract^55r]1^2=-4l(tfrac325-tfrac15r)=-4cdottfrac315=-tfrac1245
Por fim, a componente vec k:
integral1^2-(t^2-1),dt=-integral1^2(t^2-1),dt=-l[tfract^33-tr]1^2=-l((tfrac83-2)-(tfrac13-1)r)=-l(tfrac23-(-tfrac23)r)=-tfrac43

Passo 4

Juntando as três componentes, obtemos a integral vetorial completa.

Resposta

tfrac103,vec i-tfrac1245,vec j-tfrac43,vec k

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