Calcule as integrais.
integral duplaR e^xy d x d y, R=(x, y) mid 1 <= y <= 2, y <= x <= y^3

Passo 1

Beleza, a questão pede para calcular a integral dupla
integral duplaR e^xy ,dx,dy,
onde o domínio R é
R = (x,y)mid 1 <= y <= 2,; y <= x <= y^3
Conteúdo envolvido: integração dupla em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração (na prática, montar a integral iterada) + técnica de substituição para integrar e^x/y.

Passo 2

Primeiro a gente escreve a integral iterada de forma natural: para cada y de 1 a 2, x vai de y até y^3. Logo
integral duplaR e^xy,dx,dy =integraly=1^2l(integralx=y^y^3 e^xy,dxr)dy
Agora vamos focar em calcular a integral interna integralx=y^y^3 e^xy,dx.

Passo 3

Para integrar e^xy em relação a x, y é tratado como constante. Fazemos a substituição
u = xy Longrightarrow du = 1y,dx Longrightarrow dx = y,du
Quando x = y, u = y/y = 1.
Quando x = y^3, u = y^3/y = y^2.
Logo
integralx=y^y^3 e^xy,dx = integralu=1^y^2 e^u,(y,du) = yintegral1^y^2 e^u,du = yl[e^ur]1^y^2 = yl(e^y^2-e^1r) = y,e^y^2-y,e

Passo 4

Agora voltamos à integral em y:
integral1^2l(y,e^y^2-y,er),dy = integral1^2y,e^y^2,dy ;-; eintegral1^2y,dy
  1. Para integral y,e^y^2,dy, usamos t=y^2, dt=2y,dy, ou y,dy=tfrac12,dt. Então
integral y,e^y^2,dy = 12integral e^t,dt = 12,e^t = 12,e^y^2
  1. Para integral1^2y,dy = ltfracy^22r|1^2 = 4-12=32
Juntando tudo,
integral1^2y,e^y^2,dy = 12l(e^4-e^1r) = e^4-e2, eintegral1^2y,dy = ecdot32 = 3e2
Então a integral final é
e^4-e2;-;3e2 = e^4 - e - 3e2 = e^4 - 4e2

Resposta

boxede^4 - 4e2

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