Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, a questão pede para calcular a integral dupla
onde o domínio
é
Conteúdo envolvido: integração dupla em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração (na prática, montar a integral iterada) + técnica de substituição para integrar
.
Passo 2
Primeiro a gente escreve a integral iterada de forma natural: para cada
de 1 a 2,
vai de
até
. Logo
Agora vamos focar em calcular a integral interna
.
Passo 3
Para integrar
em relação a
,
é tratado como constante. Fazemos a substituição
Quando
,
.
Quando ,
.
Logo
Quando
Logo
Passo 4
Agora voltamos à integral em
:
- Para
, usamos , , ou . Então
- Para
Juntando tudo,
Então a integral final é