Os dados a seguir fornecem o número de mensagens de texto enviadas por um aluno do segundo grau, em 40 dias aleatoriamente selecionados, durante o ano de 2012.
32 33 33 34 35 36 37 37 37 37
38 39 40 41 41 42 42 42 43 44
44 45 45 45 47 47 47 47 47 48
48 49 50 50 51 52 53 54 59 61
a. Calcule os valores de três quartis e a amplitude interquartil. Em que posição se coloca o valor de 49 em relação a esses quartis?
b. Determine o valor (aproximado) para o percentil. Apresente uma sucinta interpretação para esse percentil.
c. Para qual percentagem dos dias o número de mensagens de texto enviadas foi igual ou superior a 40 ? Responda encontrando a classificação de percentil para o valor de 40.

Passo 1

Então, basicamente a questão pede que a gente calcule quartis, amplitude interquartil, percentil 91 e a porcentagem de dias com pelo menos 40 mensagens. O conteúdo é de estatística descritiva: medidas de posição (quartis e percentis) e amplitude interquartil. Para resolver isso, vamos precisar ordenar os dados (já estão ordenados), usar a definição de quartis para amostras com n par e a fórmula do percentil Pk = (n+1)cdot k100, além de contar quantos dias atendem a certa condição.

Passo 2

Para achar o segundo quartil Q2 (a mediana) com n = 40 ( n par), usamos as posições n/2 = 20 e n/2 + 1 = 21. O valor na posição 20 é 44 e na 21 também é 44. Então
Q2 = 44 + 442 = 44
Isso significa que metade dos dias teve até 44 mensagens e metade teve 44 ou mais.

Passo 3

Para achar o primeiro quartil Q1, olhamos para a metade inferior (posições 1 a 20) e calculamos a mediana dessa metade. As posições 10 e 11 são 37 e 38, logo
Q1 = 37 + 382 = 37,5
Isso indica que 25% dos dias tiveram até 37,5 mensagens.

Passo 4

Para achar o terceiro quartil Q3, usamos a metade superior (posições 21 a 40). As posições 30 e 31 são 48 e 48, então
Q3 = 48 + 482 = 48
Ou seja, 75% dos dias tiveram até 48 mensagens.

Passo 5

A amplitude interquartil (IQR) é a diferença entre Q3 e Q1:
IQR = Q3 - Q1 = 48 - 37,5 = 10,5
Isso mostra a dispersão central dos dados.

Passo 6

O valor 49 está na posição 32 e, como 49 > Q3 (48), ele fica acima do terceiro quartil — ou seja, está entre os 25% maiores valores.

Passo 7

Para o 91º percentil, usamos a fórmula de posição
R = (n+1),k100 = (40+1),91100 = 37,31
Isso indica que o percentil 91 está entre os valores na posição 37 (que é 53) e na 38 (que é 54). Fazendo interpolação:
P91 = 53 + (37,31 - 37),(54 - 53) = 53 + 0,31 approx 53,31
Portanto, aproximadamente 91% dos dias tiveram até 53,31 mensagens.

Passo 8

A interpretação é que cerca de 91% dos dias o aluno enviou até 53,31 mensagens. O percentil 91 marca esse ponto alto na distribuição.

Passo 9

Para descobrir a percentagem de dias com pelo menos 40 mensagens, primeiro classificamos 40: o número de valores menores que 40 é 12 (posições 1 a 12) e o número de valores iguais a 40 é 1 (posição 13). Assim, o percentil de 40 é
P = nº de dias com x <= 40ntimes 100 = 1340times 100 = 32,5%º
Isso quer dizer que 32,5% dos dias tiveram até 40 mensagens.

Passo 10

Como queremos a porcentagem de dias com igual ou superior a 40, contamos todas as observações a partir de 40 (incluindo 40): são 28 dias. Logo:
2840times 100 = 70%
Isso significa que em 70% dos dias o aluno enviou 40 ou mais mensagens.

Resposta

a) Q1 = 37,5; Q2 = 44; Q3 = 48; IQR = 10,5. O valor 49 está acima de Q3 (entre os 25% maiores).
b) Percentil 91 ≈ 53,31. Isso significa que em 91% dos dias o aluno enviou até 53,31 mensagens.
c) 70% dos dias tiveram 40 ou mais mensagens (o valor 40 está no percentil 32,5).

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