Os dados a seguir fornecem o número de mensagens de texto enviadas por um aluno do segundo grau, em 40 dias aleatoriamente selecionados, durante o ano de 2012.
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a. Calcule os valores de três quartis e a amplitude interquartil. Em que posição se coloca o valor de 49 em relação a esses quartis?
b. Determine o valor (aproximado) para o
percentil. Apresente uma sucinta interpretação para esse percentil.
c. Para qual percentagem dos dias o número de mensagens de texto enviadas foi igual ou superior a 40 ? Responda encontrando a classificação de percentil para o valor de 40.
32 | 33 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 37 | 37 | 37 |
38 | 39 | 40 | 41 | 41 | 42 | 42 | 42 | 43 | 44 |
44 | 45 | 45 | 45 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 48 |
48 | 49 | 50 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 59 | 61 |
b. Determine o valor (aproximado) para o
c. Para qual percentagem dos dias o número de mensagens de texto enviadas foi igual ou superior a 40 ? Responda encontrando a classificação de percentil para o valor de 40.
Passo 1
Então, basicamente a questão pede que a gente calcule quartis, amplitude interquartil, percentil 91 e a porcentagem de dias com pelo menos 40 mensagens. O conteúdo é de estatística descritiva: medidas de posição (quartis e percentis) e amplitude interquartil. Para resolver isso, vamos precisar ordenar os dados (já estão ordenados), usar a definição de quartis para amostras com
par e a fórmula do percentil
, além de contar quantos dias atendem a certa condição.
Passo 2
Para achar o segundo quartil Q2 (a mediana) com
(
par), usamos as posições
e
. O valor na posição 20 é 44 e na 21 também é 44. Então
Isso significa que metade dos dias teve até 44 mensagens e metade teve 44 ou mais.
Passo 3
Para achar o primeiro quartil Q1, olhamos para a metade inferior (posições 1 a 20) e calculamos a mediana dessa metade. As posições 10 e 11 são 37 e 38, logo
Isso indica que 25% dos dias tiveram até 37,5 mensagens.
Passo 4
Para achar o terceiro quartil Q3, usamos a metade superior (posições 21 a 40). As posições 30 e 31 são 48 e 48, então
Ou seja, 75% dos dias tiveram até 48 mensagens.
Passo 5
A amplitude interquartil (IQR) é a diferença entre Q3 e Q1:
Isso mostra a dispersão central dos dados.
Passo 6
O valor 49 está na posição 32 e, como 49 > Q3 (48), ele fica acima do terceiro quartil — ou seja, está entre os 25% maiores valores.
Passo 7
Para o 91º percentil, usamos a fórmula de posição
Isso indica que o percentil 91 está entre os valores na posição 37 (que é 53) e na 38 (que é 54). Fazendo interpolação:
Portanto, aproximadamente 91% dos dias tiveram até 53,31 mensagens.
Passo 8
A interpretação é que cerca de 91% dos dias o aluno enviou até 53,31 mensagens. O percentil 91 marca esse ponto alto na distribuição.
Passo 9
Para descobrir a percentagem de dias com pelo menos 40 mensagens, primeiro classificamos 40: o número de valores menores que 40 é 12 (posições 1 a 12) e o número de valores iguais a 40 é 1 (posição 13). Assim, o percentil de 40 é
Isso quer dizer que 32,5% dos dias tiveram até 40 mensagens.
Passo 10
Como queremos a porcentagem de dias com igual ou superior a 40, contamos todas as observações a partir de 40 (incluindo 40): são 28 dias. Logo:
Isso significa que em 70% dos dias o aluno enviou 40 ou mais mensagens.
Resposta
a) Q1 = 37,5; Q2 = 44; Q3 = 48; IQR = 10,5. O valor 49 está acima de Q3 (entre os 25% maiores).
b) Percentil 91 ≈ 53,31. Isso significa que em 91% dos dias o aluno enviou até 53,31 mensagens.
c) 70% dos dias tiveram 40 ou mais mensagens (o valor 40 está no percentil 32,5).
b) Percentil 91 ≈ 53,31. Isso significa que em 91% dos dias o aluno enviou até 53,31 mensagens.
c) 70% dos dias tiveram 40 ou mais mensagens (o valor 40 está no percentil 32,5).