Prove que, para qualquer número natural n :
11^n+2+12^2 n+1 é divisível por 133 ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural n, o inteiro
11^n+2 ;+; 12^2n+1
é múltiplo de 133.
O método mais direto é usar aritmética modular com indução sobre n.

Passo 2

(Base da indução) Para n=0 temos
11^0+2 + 12^2cdot0+1 =11^2 + 12^1 =121 + 12 =133,
e 133 é obviamente divisível por 133. Logo, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que, para algum n>=0,
11^n+2 + 12^2n+1 equiv 0 pmod133
Precisamos mostrar que vale também para n+1, isto é,
11^(n+1)+2 + 12^2(n+1)+1 equiv 0 pmod133
Reescrevendo,
11^n+3 + 12^2n+3 =11cdot 11^n+2 ;+; 12^2cdot 12^2n+1
Mas 12^2=144equiv 11pmod133. Assim,
12^2cdot 12^2n+1 equiv 11cdot 12^2n+1 pmod133
Logo
11^n+3 + 12^2n+3 equiv 11cdot 11^n+2 + 11cdot 12^2n+1 =11l(11^n+2+12^2n+1r) equiv 11cdot 0 =0 pmod133,
onde usamos a hipótese de indução ,11^n+2+12^2n+1equiv0pmod133

Passo 4

Concluímos, por indução matemática, que para todo ninN
11^n+2 + 12^2n+1 equiv 0 pmod133,
isto é, 133 divide 11^n+2+12^2n+1.

Resposta

Para todo número natural n, 11^n+2+12^2n+1 é divisível por 133.

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