Prove que, para qualquer número natural
:
é divisível por 133 ;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural
, o inteiro
é múltiplo de
.
O método mais direto é usar aritmética modular com indução sobre .
O método mais direto é usar aritmética modular com indução sobre
Passo 2
(Base da indução) Para
temos
e
é obviamente divisível por
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo) Suponha que, para algum
,
Precisamos mostrar que vale também para
, isto é,
Reescrevendo,
Mas
. Assim,
Logo
onde usamos a hipótese de indução
Passo 4
Concluímos, por indução matemática, que para todo
isto é,
divide
.
Resposta
Para todo número natural
,
é divisível por
.