Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do seguinte sólido :
O sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=3 x entre os planos z=0 e x+z=5.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, em coordenadas cartesianas, é descrito por
  • a superfície lateral dada pelo cilindro x^2+y^2=3x,
  • o plano inferior z=0 e
  • o plano superior x+z=5.
    O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas cilíndricas e cálculo de integral tripla (reduzida a dupla pelo fato de conhecermos as cotas em z). Em coordenadas cilíndricas teremos
x = rcostheta, y=rsintheta, z=z,
e o elemento de área projetado no plano xy é dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Primeiro convertamos a equação do cilindro para coordenadas cilíndricas:
x^2+y^2=r^2, x= rcostheta
logo
r^2=3,rcostheta Longrightarrow r=3costheta(a<=m de r=0)
Como costheta deve ser não-negativo, theta varia de -tfracpi2 a tfracpi2, e para cada theta, r vai de 0 até 3costheta.

Passo 3

O plano superior é x+z=5, isto é, em cilíndricas z=5-rcostheta. O plano inferior é z=0.
Portanto, o volume é
V=integral duplaRl[underbrace(5 - rcostheta)a<ura em z-0r],dA =integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^3costheta(5-rcostheta),r,dr,dtheta

Passo 4

Façamos primeiro a integral em r:
integral0^3costheta(5-rcostheta),r,dr =integral0^3costhetal(5r - r^2costhetar)dr =l[tfrac52r^2-tfrac13costheta,r^3r]0^3costheta
Substituindo r=3costheta obtemos
tfrac52(3costheta)^2 -tfrac13costheta,(3costheta)^3 =tfrac452cos^2theta -9cos^4theta
Então
V=integral-pi2^pi2l(tfrac452cos^2theta-9cos^4thetar)dtheta

Passo 5

A função integranda é par em theta, logo
V=2integral0^pi2l(tfrac452cos^2theta-9cos^4thetar)dtheta =integral0^pi2l(45cos^2theta-18cos^4thetar)dtheta
Usamos as fórmulas conhecidas
integral0^pi2cos^2theta,dtheta=pi4, integral0^pi2cos^4theta,dtheta=3pi16
Portanto
V =45cdotpi4 -18cdot3pi16 =45pi4-54pi16 =180pi-54pi16 =126pi16 =63pi8

Resposta

O volume do sólido é 63pi8.

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