Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do seguinte sólido :
O sólido limitado pelo cilindro entre os planos e .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que, em coordenadas cartesianas, é descrito por
a superfície lateral dada pelo cilindro ,
o plano inferior e
o plano superior .
O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas cilíndricas e cálculo de integral tripla (reduzida a dupla pelo fato de conhecermos as cotas em ). Em coordenadas cilíndricas teremos
e o elemento de área projetado no plano é .
Passo 2
Primeiro convertamos a equação do cilindro para coordenadas cilíndricas:
logo
Como deve ser não-negativo, varia de a , e para cada , vai de até .
Passo 3
O plano superior é , isto é, em cilíndricas . O plano inferior é .
Portanto, o volume é