Calcule as somas de Riemann S(f, P^*).
f(x, y)=x^2+y^2, R=[0,2] times[0,3], P tem vértices 0, 12, 1, 32, 2 times0,1,2,3. Pontilhamento: qi j são os centros dos Ri j.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma de Riemann de f(x,y)=x^2+y^2 sobre o retângulo
R=[0,2]times[0,3]
usando a partição
P=0,tfrac12,1,tfrac32,2times0,1,2,3
e escolhendo em cada sub‐retângulo o ponto de amostragem qij no seu centro. Vamos usar a definição de soma de Riemann em duas variáveis.

Passo 2

Cada subintervalo em x tem comprimento
De<a x = tfrac12
e cada subintervalo em y tem comprimento
De<a y = 1
Logo cada sub‐retângulo Rij na partição tem área
De<a A = De<a x;De<a y = tfrac12cdot1 = tfrac12

Passo 3

Os centros dos sub‐retângulos são dados pelas médias dos extremos em x e em y. Em x temos
xminl0,25,;0,75,;1,25,;1,75r,
e em y
yninl0,5,;1,5,;2,5r

Passo 4

A soma de Riemann é
S(f,P^*) ;=;summ=1^4sumn=1^3 f(xm,yn),De<a A ;=;tfrac12;summ=1^4sumn=1^3l(xm^2 + yn^2r)

Passo 5

Para simplificar a soma separamos os termos em x e em y:
summ=1^4sumn=1^3l(xm^2 + yn^2r) = summ=1^4l(3,xm^2r) ;+;summ=1^4sumn=1^3yn^2 =3summ=1^4xm^2 ;+;4sumn=1^3yn^2

Passo 6

Calculamos separadamente
summ=1^4xm^2 =0,25^2+0,75^2+1,25^2+1,75^2 =0,0625+0,5625+1,5625+3,0625=5,25,
sumn=1^3yn^2 =0,5^2+1,5^2+2,5^2 =0,25+2,25+6,25=8,75
Então
3summ=1^4xm^2 =3cdot5,25=15,75, 4sumn=1^3yn^2 =4cdot8,75=35
Somando,
summ,n(xm^2+yn^2)=15,75+35=50,75

Passo 7

Finalmente
S(f,P^*) = tfrac12cdot50,75 = 25,375 = 2038

Resposta

S(f,P^*) = 2038

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