Calcule as integrais.
integralR(x-2 x y^2) d A
R=[-3,1] times[-2,6]

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra calcular a integral dupla
integral duplaRl(x - 2x y^2r),dA,
onde R = [-3,1]times[-2,6].
Matéria: Cálculo Multivariável (integrais duplas).
O que a gente vai precisar:
  • Saber que, em região retangular, integral duplaR f(x,y),dA = integralx=a^b!!integraly=c^d f(x,y),dy,dx.
  • Técnica de integração iterada e propriedades de integrais (linearidade, separação de termos).

Passo 2

Primeiro, note que
x - 2xy^2 = x ;+; (-2),x,y^2
Então a integral se separa em
integral duplaR x,dA ;-; 2;integral duplaR x,y^2,dA
Isso é porque a integral de soma é soma das integrais e fator constante sai fora.

Passo 3

Calcular I1 = integral duplaR x,dA.
Usando integração iterada (integrar primeiro em y, depois em x):
I1 = integralx=-3^1!l(integraly=-2^6 x,dyr),dx = integral-3^1 l[x,(6 - (-2))r],dx = integral-3^1 8x,dx
Agora integra em x:
integral-3^18x,dx = 8;l[tfracx^22r]-3^1 = 8l(tfrac1^22 - tfrac(-3)^22r) = 8l(tfrac1-92r) = 8cdot(-4) = -32

Passo 4

Calcular I2 = integral duplaR x,y^2,dA.
De novo, integrar em y primeiro:
integraly=-2^6 y^2,dy = l[tfracy^33r]-2^6 = 6^33 - (-2)^33 = 72 - l(-tfrac83r) = 2243
Então
I2 = integralx=-3^1 x;l(tfrac2243r),dx = 2243integral-3^1 x,dx = 2243,l[tfracx^22r]-3^1 = 2243l(tfrac1-92r) = 2243,(-4) = -8963
Mas como o integrando era -2,x,y^2, temos de multiplicar por -2:
-2;integral duplaR x,y^2,dA = -2;l(I2r) = -2;l(-8963r) = 17923

Passo 5

Somando as duas partes:
integral duplaRl(x - 2xy^2r),dA = I1 ;+; l(-2,I2r) = -32 ;+; 17923 = -963 + 17923 = 16963

Resposta

16963

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