Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra calcular a integral dupla
onde
.
Matéria: Cálculo Multivariável (integrais duplas).
O que a gente vai precisar:
Matéria: Cálculo Multivariável (integrais duplas).
O que a gente vai precisar:
- Saber que, em região retangular,
. - Técnica de integração iterada e propriedades de integrais (linearidade, separação de termos).
Passo 2
Primeiro, note que
Então a integral se separa em
Isso é porque a integral de soma é soma das integrais e fator constante sai fora.
Passo 3
Calcular
.
Usando integração iterada (integrar primeiro em , depois em
):
Usando integração iterada (integrar primeiro em
Agora integra em
:
Passo 4
Calcular
.
De novo, integrar em primeiro:
De novo, integrar em
Então
Mas como o integrando era
, temos de multiplicar por
:
Passo 5
Somando as duas partes: