Calcule as integrais.
integralR x e^x y d A
R=[0,1]^2

Passo 1

Então, o problema pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,e^x y,dA onde R = [0,1]times[0,1]
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas sobre retângulos, e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar isso numa integral iterada, além de conhecer primitivas de funções exponenciais.

Passo 2

O Teorema de Fubini diz que, se f(x,y) é contínua em R=[a,b]times[c,d], então
integral duplaR f(x,y),dA = integrala^b l(integralc^d f(x,y),dyr),dx = integralc^d l(integrala^b f(x,y),dxr),dy
Ou seja, podemos integrar em y primeiro e depois em x, ou vice-versa. Aqui escolhemos integrar em y primeiro porque fica mais simples.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada em ordem dy,dx:
integral duplaR x,e^xy,dA = integralx=0^1 l(integraly=0^1 x,e^xy,dyr),dx
Agora vamos calcular a integral interna
integral0^1 x,e^xy,dy

Passo 4

Para integrar em y, note que x é constante em relação a y. Então
integral0^1 x,e^xy,dy = x integral0^1 e^xy,dy
A primitiva de e^xy em y é tfrac1xe^xy (desde que xneq0, e no ponto x=0 a integral dá integral0^1 0,dy=0, mas o resultado geral bate). Logo,
x integral0^1 e^xy,dy = xl[tfrac1xe^xyr]y=0^y=1 = l[e^xyr]0^1 = e^x-1
Então a integral dupla vira
integral0^1 l(e^x-1r),dx

Passo 5

Agora a integral em x:
integral0^1 l(e^x-1r),dx = integral0^1 e^x,dx ;-;integral0^1 1,dx = l[e^xr]0^1 ;-; l[xr]0^1 = (e-1) - (1-0) = e - 2

Resposta

boxede - 2

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