Calcule as integrais.
Passo 1
Então, o problema pede para calcular a integral dupla
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas sobre retângulos, e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar isso numa integral iterada, além de conhecer primitivas de funções exponenciais.
Passo 2
O Teorema de Fubini diz que, se
é contínua em
, então
Ou seja, podemos integrar em
primeiro e depois em
, ou vice-versa. Aqui escolhemos integrar em
primeiro porque fica mais simples.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada em ordem
:
Agora vamos calcular a integral interna
Passo 4
Para integrar em
, note que
é constante em relação a
. Então
A primitiva de
em
é
(desde que
, e no ponto
a integral dá
, mas o resultado geral bate). Logo,
Então a integral dupla vira
Passo 5
Agora a integral em
: