Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes: 2y’’+2y’+y=4√x. Isso é matéria de equações diferenciais lineares; a gente vai precisar achar primeiro a solução homogênea (via equação característica) e depois uma solução particular (usando variação de parâmetros).
Passo 2
Primeiro, vamos dividir tudo por 2 pra deixar na forma padrão y’’+y’+\tfrac12y=2√x. Assim a equação fica
Passo 3
Passo 4
A parte homogênea vem da equação característica r²+r+\tfrac12=0. Resolvendo:
Passo 5
Passo 6
Logo a solução complementar é
Passo 7
Passo 8
Agora pegamos duas soluções fundamentais y_1=e^{-x/2}\cos\tfrac{x}{2} e y_2=e^{-x/2}\sin\tfrac{x}{2}. O Wronskiano, usando W(x)=W(0)e^{-\int1dx}, dá
Passo 9
Passo 10
Para a solução particular usamos variação de parâmetros:
Passo 11
Passo 12
onde f(x)=2√x. Isso leva a
Passo 13
Passo 14
Então a solução particular é y_p=u_1y_1+u_2y_2, e a solução geral é y=y_c+y_p.
Resposta
A solução geral da EDO é: