Resolva as equações abaixo.
2 y^prime prime+2 y^prime+y=4 raiz x

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes: 2y’’+2y’+y=4√x. Isso é matéria de equações diferenciais lineares; a gente vai precisar achar primeiro a solução homogênea (via equação característica) e depois uma solução particular (usando variação de parâmetros).

Passo 2

Primeiro, vamos dividir tudo por 2 pra deixar na forma padrão y’’+y’+\tfrac12y=2√x. Assim a equação fica

Passo 3

y''+y'+tfrac12y=2raizx

Passo 4

A parte homogênea vem da equação característica r²+r+\tfrac12=0. Resolvendo:

Passo 5

r=-1pm i2

Passo 6

Logo a solução complementar é

Passo 7

yc(x)=e^-x/2l(C1costfracx2+C2sintfracx2r)

Passo 8

Agora pegamos duas soluções fundamentais y_1=e^{-x/2}\cos\tfrac{x}{2} e y_2=e^{-x/2}\sin\tfrac{x}{2}. O Wronskiano, usando W(x)=W(0)e^{-\int1dx}, dá

Passo 9

W(x)=tfrac12e^-x

Passo 10

Para a solução particular usamos variação de parâmetros:

Passo 11

u1=-integraly2,f(x)W(x)dx, u2=integraly1,f(x)W(x)dx,

Passo 12

onde f(x)=2√x. Isso leva a

Passo 13

u1(x)=-4integral e^x/2raizxsintfracx2,dx, u2(x)=4integral e^x/2raizxcostfracx2,dx

Passo 14

Então a solução particular é y_p=u_1y_1+u_2y_2, e a solução geral é y=y_c+y_p.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x)=e^-x/2l(C1costfracx2+C2sintfracx2r) -4e^-x/2costfracx2integral e^x/2raizxsintfracx2,dx +4e^-x/2sintfracx2integral e^x/2raizxcostfracx2,dx

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