Calcule as integrais.
integralR(sen(x+y)+sen(x)+sen(y)) d A
R=[0, pi]^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral dupla
integral duplaRl(sin(x+y)+sin(x)+sin(y)r),dA,
onde R = [0,pi]times[0,pi].
Isso é um problema de integrais duplas, fazendo uso de:
  1. Linearidade das integrais (a integral da soma é a soma das integrais).
  2. Teorema de Fubini (a gente pode integrar primeiro em x, depois em y, ou vice-versa).
  3. Conhecer antiderivadas de funções trigonométricas (por exemplo, integral sin(u),du = -cos(u)).
A partir do próximo passo a gente parte pro cálculo de fato, sem pular nenhuma etapa.

Passo 2

Usando a linearidade, separamos a integral em três pedaços:
I = integral duplaRsin(x+y),dA ;+; integral duplaRsin(x),dA ;+; integral duplaRsin(y),dA
Chamemos
I1 = integral duplaRsin(x+y),dA, I2 = integral duplaRsin(x),dA, I3 = integral duplaRsin(y),dA
Depois a gente soma I = I1+I2+I3.

Passo 3

Cálculo de I1 = integraly=0^pi!integralx=0^pisin(x+y),dx,dy.
  1. Integramos primeiro em x, vendo y como constante.
integral0^pisin(x+y),dx = l[-cos(x+y)r]x=0^x=pi = l(-cos(pi+y)r) - l(-cos(y)r)
  1. Lembrando que cos(pi+y)=-cos(y), fica
integral0^pisin(x+y),dx = l(-(-cos y)r) - l(-cos yr) = cos y + cos y = 2cos y
  1. Agora integramos em y:
I1 = integral0^pi2cos y,dy = 2l[sin yr]0^pi = 2l(sinpi - sin0r) = 2(0 - 0) = 0

Passo 4

Cálculo de I2 = integral duplaRsin(x),dA.
Aqui sin(x) não depende de y, então
I2 = integraly=0^pi!integralx=0^pisin(x),dx,dy = l(integralx=0^pisin(x),dxr) l(integraly=0^pi1,dyr)
  • integralx=0^pisin(x),dx = l[-cos xr]0^pi = -cospi - (-cos0) = -(-1) - (-1) = 2
  • integraly=0^pi1,dy = pi
    Logo
I2 = 2cdot pi = 2pi

Passo 5

Cálculo de I3 = integral duplaRsin(y),dA.
Por simetria (agora sin(y) não depende de x), dá exatamente o mesmo de I2:
I3 = integralx=0^pi!integraly=0^pisin(y),dy,dx = pi cdot 2 = 2pi
Agora somamos tudo:
I = I1 + I2 + I3 = 0 + 2pi + 2pi = 4pi

Resposta

boxed4pi

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