Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral dupla
,
onde .
Isso é um problema de integrais duplas, fazendo uso de:
onde
Isso é um problema de integrais duplas, fazendo uso de:
- Linearidade das integrais (a integral da soma é a soma das integrais).
- Teorema de Fubini (a gente pode integrar primeiro em
, depois em , ou vice-versa). - Conhecer antiderivadas de funções trigonométricas (por exemplo,
).
A partir do próximo passo a gente parte pro cálculo de fato, sem pular nenhuma etapa.
Passo 2
Usando a linearidade, separamos a integral em três pedaços:
Chamemos
Depois a gente soma
.
Passo 3
Cálculo de
.
- Integramos primeiro em
, vendo como constante.
- Lembrando que
, fica
- Agora integramos em
:
Passo 4
Cálculo de
.
Aqui não depende de
, então
Aqui
-
-
Logo
Passo 5
Cálculo de
.
Por simetria (agora não depende de
), dá exatamente o mesmo de
:
Por simetria (agora
Agora somamos tudo: