Seja f(x, y) função definida na região R abaixo descrita. Decomponha a integral integral duplaR f(x, y) d x d y nas duas possíveis ordens de integração. Usando qualquer dessas ordens, calcule o valor da integral para f(x, y)=x.
R é a região acima do eixo 0 x e limitada pelas curvas y^2-x^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=x sobre a região R definida acima do eixo x e limitada pelas curvas
y^2 - x^2 = 1
e
x^2 + y^2 = 9
O objetivo é escrever
integral duplaR x,dx,dy
nas duas ordens de integração possíveis e depois calcular o valor dessa integral.

Passo 2

Ordem
isto é em , vai da hipérbole até o círculo:

Passo 3

Ordem ,dx,dy. O menor y sobre R é y=1 (vértice da hipérbole) e o maior é y=3 (vértice do círculo). Para y entre 1 e raiz5 domina a hipérbole, e para y entre raiz5 e 3 domina o círculo. Assim
integraly=1^raiz5!integralx=-raizy^2-1^raizy^2-1 x;dx;dy ;+; integraly=raiz5^3!integralx=-raiz9-y^2^raiz9-y^2 x;dx;dy

Passo 4

Cálculo pela ordem dy,dx.
I = integralx=-2^2,integraly=raizx^2+1^raiz9 - x^2 x;dy;dx = integralx=-2^2 xl[raiz9 - x^2-raizx^2+1r],dx
A função xl(raiz9 - x^2-raizx^2+1r) é ímpar em x e o intervalo de integração é simétrico [-2,2]. Logo
I=0

Resposta

0

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