Seja
função definida na região
abaixo descrita. Decomponha a integral
nas duas possíveis ordens de integração. Usando qualquer dessas ordens, calcule o valor da integral para
.
é a região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer calcular
onde e a região
é limitada pelas curvas
onde
Conteúdo: integrais duplas, descrição de região em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Resolver o sistema pra achar interseções;
- Descrever
como “y–simples” (para integrar primeiro) e como “x–simples” (para integrar primeiro); - Montar as duas integrais iteradas;
- Calcular uma delas.
Passo 2
Encontrar interseções:
- Da parábola
vem . - Na hipérbole
substituo :
Fazendo
temos
, solução positiva
.
Logo e daí
.
Pontos de interseção: e
.
Logo
Pontos de interseção:
Passo 3
Descrição “y–simples” (integro
antes de
):
para cada , o
varia da parábola (menor) até a hipérbole (maior):
para cada
Então a integral em ordem
é
Passo 4
Descrição “x–simples” (integro
antes de
):
a projeção de no eixo
vai de
(vértice da parábola em
) até
.
Mas pra montar a gente vê que, para
, a hipérbole não aparece (não dá solução real) e só fica a parábola; já para
há duas tiras separadas em
.
Isso dá a divisão:
a projeção de
Mas pra montar
Isso dá a divisão:
Passo 5
Vamos calcular pela ordem
.
Inner:
Inner:
Logo
Cada termo é par, então
Somando:
Somando: