Seja f(x, y) função definida na região R abaixo descrita. Decomponha a integral integral duplaR f(x, y) d x d y nas duas possíveis ordens de integração. Usando qualquer dessas ordens, calcule o valor da integral para f(x, y)=x.
R é a região limitada pelas curvas y^2-x^2=-1 e 3 x=2 y^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular
integral duplaRf(x,y),dx,dy
onde f(x,y)=x e a região R é limitada pelas curvas
y^2 - x^2 = -1 (hipérbo<=) e 3x = 2y^2 (parábola) éá
Conteúdo: integrais duplas, descrição de região em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração.
O que vamos precisar:
  • Resolver o sistema pra achar interseções;
  • Descrever R como “y–simples” (para integrar x primeiro) e como “x–simples” (para integrar y primeiro);
  • Montar as duas integrais iteradas;
  • Calcular uma delas.

Passo 2

Encontrar interseções:
  1. Da parábola 3x=2y^2 vem x=tfrac23y^2.
  2. Na hipérbole y^2 - x^2 = -1 substituo x:
y^2 - l(tfrac23y^2r)^!2 = -1 ;Longrightarrow; y^2 - tfrac49y^4 = -1 ;Longrightarrow; 4y^4 - 9y^2 -9=0
Fazendo t=y^2 temos 4t^2 -9t -9=0, solução positiva t=3.
Logo y=pmraiz3 e daí x=tfrac23cdot3=2.
Pontos de interseção: (2,raiz3) e (2,-raiz3).

Passo 3

Descrição “y–simples” (integro x antes de y):
para cada yin[-raiz3,raiz3], o x varia da parábola (menor) até a hipérbole (maior):
xmin=tfrac23y^2, xmax=raiz1+y^2
Então a integral em ordem dx,dy é
integral duplaR x,dx,dy =integraly=-raiz3^raiz3 l[, integralx=tfrac23y^2^,raiz1+y^2 x,dx r] dy

Passo 4

Descrição “x–simples” (integro y antes de x):
a projeção de R no eixo x vai de xmin=0 (vértice da parábola em y=0) até xmax=2.
Mas pra montar integral dy,dx a gente vê que, para 0<= x<=1, a hipérbole não aparece (não dá solução real) e só fica a parábola; já para 1<= x<=2 há duas tiras separadas em y.
Isso dá a divisão:
integral duplaR x,dx,dy =integralx=0^1 l[integraly=-raiztfrac32x^raiztfrac32x x,dyr]dx ;+; integralx=1^2 l[ integraly=-raiztfrac32x^-raizx^2-1 x,dy ;+; integraly=raizx^2-1^raiztfrac32x x,dy r]dx

Passo 5

Vamos calcular pela ordem dx,dy.
Inner:
integralx=tfrac23y^2^raiz1+y^2 x,dx =l[tfracx^22r]x=tfrac23y^2^raiz1+y^2 =1+y^22-(2/3,y^2)^22 =1+y^22-29y^4
Logo
I =integral-raiz3^raiz3 l(tfrac12+tfracy^22-tfrac29y^4r)dy
Cada termo é par, então
integral-raiz3^raiz3!1/2,dy =raiz3,
integral-raiz3^raiz3!y^2/2,dy =raiz3,
integral-raiz3^raiz3!tfrac29y^4,dy =tfrac45raiz3
Somando:
I =raiz3+raiz3-tfrac45raiz3 =(2-tfrac45)raiz3 =tfrac65,raiz3

Resposta

65,raiz3.

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