Calcule as integrais:
(15 pontos ) \int \frac{-x+2}{x^{3}+2 x} \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{-x+2}{x^{3}+2x}\,dx.
O conteúdo principal é integração de função racional, que faremos usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3}+2x = x\,(x^{2}+2).
Em seguida escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{-x+2}{x\,(x^{2}+2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+2}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+2), obtemos
-\,x + 2 = A(x^{2}+2) + (Bx + C)\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + 2A.
Igualando coeficientes de potências de x:
\begin{cases} A + B = 0,\\\ C = -1,\\\\ 2A = 2, \end{cases}
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A = 1,\quad B = -1,\quad C = -1.

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na decomposição, temos
\frac{-x+2}{x(x^{2}+2)} = \frac{1}{x} \;-\;\frac{x+1}{x^{2}+2}.

Passo 5

Podemos então reescrever a integral como soma de três integrais mais simples:
\int \frac{-x+2}{x(x^{2}+2)}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx \;-\;\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx \;-\;\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.
Calculamos cada parte:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert,
\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr),
\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 6

Juntando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{-x+2}{x^{3}+2x}\,dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) - \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) + C.

Resposta

\ln\lvert x\rvert - \tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) + C.

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