Calcule as integrais:
\left(15\right. pontos) \int_{2}^{5} \frac{d x}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{2}^{5}\frac{dx}{x-3}.
Note que o integrando tem uma descontinuidade em x=3, que está dentro do intervalo de integração. Portanto, trata-se de uma integral imprópria, e precisamos verificar seu comportamento ao nos aproximarmos de 3.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes, usando um ponto intermediário 3:
\int_{2}^{5}\frac{dx}{x-3} =\int_{2}^{3}\frac{dx}{x-3}+\int_{3}^{5}\frac{dx}{x-3}.
Cada uma dessas é uma integral imprópria, que definimos por limites:
I_1=\lim_{a\to3^-}\int_{2}^{a}\frac{dx}{x-3}, \quad I_2=\lim_{b\to3^+}\int_{b}^{5}\frac{dx}{x-3}.

Passo 3

Calculamos primeiro a primária
\int\frac{dx}{x-3}=\ln\bigl|x-3\bigr|+C.
Para I_1:
\int_{2}^{a}\frac{dx}{x-3} =\Bigl[\ln\bigl|x-3\bigr|\Bigr]_{2}^{a} =\ln\bigl|a-3\bigr|-\ln\bigl|2-3\bigr| =\ln\bigl|a-3\bigr|-\ln(1) =\ln\bigl|a-3\bigr|.
Como a\to3^-, a-3\to0^- e \ln\bigl|a-3\bigr|\to -\infty. Logo,
I_1=\lim_{a\to3^-}\ln\bigl|a-3\bigr|=-\infty.

Passo 4

Para I_2:
\int_{b}^{5}\frac{dx}{x-3} =\Bigl[\ln\bigl|x-3\bigr|\Bigr]_{b}^{5} =\ln\bigl|5-3\bigr|-\ln\bigl|b-3\bigr| =\ln(2)-\ln\bigl|b-3\bigr|.
Quando b\to3^+, b-3\to0^+ e \ln\bigl|b-3\bigr|\to -\infty, fazendo
\ln(2)-\ln\bigl|b-3\bigr|\to +\infty.
Assim,
I_2=+\infty.

Passo 5

Como I_1=-\infty e I_2=+\infty, pelo menos uma das partes diverge. Portanto, a integral imprópria original também diverge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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