No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}.
O conteúdo relevante é o estudo de séries numéricas por meio de critérios de convergência. Aqui vamos usar o teste da razão, que é indicado quando aparece termo exponencial no denominador.

Passo 2

Seja a_n = \frac{\sqrt{n}}{2^n}. No teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}/2^{\,n+1}}{\sqrt{n}/2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.
Como L=\tfrac12<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}
converge.

Exercícios relacionados