Calcule as integrais:
(15 pontos ) \int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2} x^{2}\,\sqrt{4 - x^{2}}\;dx.
Perceba que há \sqrt{a^{2}-x^{2}} com a=2, então a técnica apropriada é a substituição trigonométrica x=2\sin\theta.

Passo 2

Fazendo
x = 2\sin\theta,\quad dx = 2\cos\theta\,d\theta,
os limites viram: quando x=0 temos \theta=0, e quando x=2 temos \theta=\tfrac{\pi}{2}. Além disso,
\sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - 4\sin^{2}\theta} = 2\cos\theta.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos
\int_{0}^{2} x^{2}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} (2\sin\theta)^{2}\,\bigl(2\cos\theta\bigr)\,\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = 16 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para resolver \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta, usamos
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\theta),
de modo que
16\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta = 4\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(2\theta)\,d\theta.
Como
\sin^{2}(2\theta)=\tfrac{1-\cos(4\theta)}{2},
segue
4\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(4\theta)}{2}\,d\theta =2\Bigl[\theta-\tfrac{1}{4}\sin(4\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =2\cdot\tfrac{\pi}{2} =\pi.

Resposta

\pi

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