Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
x=1+(y-2)^{2}, \quad x=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
x = 1 + (y-2)^2
e
x = 2.
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, tomando tiras horizontais (paralelas ao eixo x).

Passo 2

Primeiro determinamos os valores de y onde as duas curvas se interceptam, resolvendo
1 + (y-2)^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad (y-2)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 \text{ ou } y = 3.
Logo, y varia de 1 até 3.

Passo 3

Para uma tira horizontal em altura y:
  • A raio da casca é a distância até o eixo x, ou seja, r(y) = y.
  • A altura da casca é a diferença em x entre as curvas:
h(y) = x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} = 2 - \bigl[1 + (y-2)^2\bigr] = 1 - (y-2)^2.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método das cascas é
V = \int_{y=1}^{3} 2\pi \,r(y)\,h(y)\,dy = 2\pi \int_{1}^{3} y\bigl[1 - (y-2)^2\bigr]\,dy.

Passo 5

Expandindo o integrando:
1 - (y-2)^2 = 1 - (y^2 - 4y + 4) = -y^2 +4y -3,
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y\bigl[1 - (y-2)^2\bigr] = -y^3 +4y^2 -3y.
Calculamos
\int_{1}^{3}\bigl(-y^3 +4y^2 -3y\bigr)dy = \Bigl[-\tfrac{y^4}{4} + \tfrac{4y^3}{3} - \tfrac{3y^2}{2}\Bigr]_{1}^{3} = \frac{8}{3}.
Multiplicando por 2\pi, obtém‐se
V = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{16\pi}{3}.

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