Calcule as integrais abaixo
(i) integral 1-sen(x)cos ^2(x) d x
(ii) integral(x^2-3 x+4) cos (pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas integrais distintas. A primeira envolve frações trigonométricas e exige manipular o integrando em termos de secante e tangente. A segunda é um polinômio multiplicado por cos(pi x), que vamos tratar por integração por partes.

Passo 2

Para calcular
integral 1-sen(x)cos^2(x),dx
escrevemos
1-sen(x)cos^2(x) =1cos^2(x)-sen(x)cos^2(x) =sec^2(x)-tan(x)sec(x)
Como sabemos que ddxtan(x)=sec^2(x) e ddxsec(x)=sec(x)tan(x), temos
integralsec^2(x),dx=tan(x), integraltan(x)sec(x),dx=sec(x)
Logo,
integral 1-sen(x)cos^2(x),dx =tan(x)-sec(x)+C

Passo 3

Agora faça
integrall(x^2-3x+4r)cos(pi x),dx
Use integração por partes uma vez, tomando
,u1=x^2-3x+4, dv1=cos(pi x),dx. Então
du1=(2x-3),dx, v1=1pisen(pi x)
Dessa forma,
integrall(x^2-3x+4r)cos(pi x),dx =x^2-3x+4pisen(pi x) -1piintegral(2x-3)sen(pi x),dx
Defina
J=integral(2x-3)sen(pi x),dx

Passo 4

Para J use partes de novo com
,u2=2x-3, dv2=sen(pi x),dx. Então
du2=2,dx, v2=-1picos(pi x),
e
J=(2x-3)l(-1picos(pi x)r) -integral 2l(-1picos(pi x)r),dx =-2x-3picos(pi x) +2piintegralcos(pi x),dx
Como integralcos(pi x),dx=1pisen(pi x), obtemos
J=-2x-3picos(pi x) +2pi^2sen(pi x)

Passo 5

Substituindo J na expressão do Passo 3,
integrall(x^2-3x+4r)cos(pi x),dx =x^2-3x+4pisen(pi x) -1pigl( -2x-3picos(pi x) +2pi^2sen(pi x) gr)+C
Distribuindo e reunindo termos de sen(pi x) e cos(pi x), chega-se a
integrall(x^2-3x+4r)cos(pi x),dx =underbracepi^2(x^2-3x+4)-2pi^3 A(x) sen(pi x) +underbrace2x-3pi^2 B(x) cos(pi x) + C

Resposta

(i) tan(x)-sec(x)+C
(ii) pi^2(x^2-3x+4)-2pi^3,sen(pi x)+2x-3pi^2,cos(pi x)+C

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