Calcule as integrais abaixo:
(2,0 pontos)integral 1x^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral 1x^2 raiz4 - x^2 , dx. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para lidar com integrais que têm expressões como raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão raiz4 - x^2. Sabemos que para raiza^2 - x^2, podemos usar x = a sin theta. Aqui, a = 2, então vamos definir:
x = 2 sin theta

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx em termos de theta. Derivando ambos os lados da equação x = 2 sin theta em relação a theta, temos:
dx = 2 cos theta , dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral 1(2 sin theta)^2 raiz4 - (2 sin theta)^2 cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = raiz4 cos^2 theta = 2 cos theta

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral 14 sin^2 theta cdot 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando os termos:
integral 14 sin^2 theta cdot 2 cos theta cdot 12 cos theta , dtheta = integral 14 sin^2 theta cdot 1 , dtheta = 14 integral csc^2 theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de csc^2 theta é:
integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta + C
Então, nossa integral fica:
14 (-cot theta) + C = -14 cot theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que x = 2 sin theta, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo theta tem:
  • O cateto oposto: x = 2 sin theta
  • A hipotenusa: 2
Então, o cateto adjacente será raiz4 - x^2. Portanto:
cot theta = cos thetasin theta = raiz4 - x^2 / 2x / 2 = raiz4 - x^2x

Passo 8

Substituindo cot theta de volta na expressão:
-14 cdot raiz4 - x^2x + C

Resposta

A integral integral 1x^2 raiz4 - x^2 , dx é igual a:
-raiz4 - x^24x + C

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