Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para lidar com integrais que têm expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão
. Sabemos que para
, podemos usar
. Aqui,
, então vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando os termos:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo
tem:
- O cateto oposto:
- A hipotenusa:
Então, o cateto adjacente será
. Portanto:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a: