Verifique se a função F(x) é uma primitiva da função f(x) (ou seja, se F(x)=f(x)). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
a) Para f(x)=xraiza+b x, temos
F(x)=23 b^2(b x-2 a) raiza+b x+C
b) Para f(x)=cos ^3 x, a primitiva é
F(x)=sin x-13 sin ^3 x+C
Certifique-se de calcular F^prime(x) para confirmar a relação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada item: primeiro, verificar que a função
F(x) dada é realmente uma primitiva de
f(x), ou seja, mostrar que
F'(x)=f(x); segundo, escrever essa relação na forma de integral indefinida
integral f(x),dx=F(x)+C.

Passo 2

Para o item (a) temos
F(x)=23b^2,(b x-2a)raiza+bx+C
Vamos calcular F'(x) por regra do produto: defina
u(x)=b x-2a e v(x)=raiza+bx.
Então
u'(x)=b, v'(x)=b2raiza+bx
Logo,
F'(x) =23b^2l(u'(x),v(x)+u(x),v'(x)r) =23b^2l(braiza+bx+(b x-2a)b2raiza+bxr)
Colocando sobre o mesmo denominador e agrupando, obtemos
F'(x) =23b^2cdot2b(a+bx)+b(bx-2a)2raiza+bx =23b^2cdot3b^2x2raiza+bx =xraiza+bx =f(x)

Passo 3

Como mostramos que
F'(x)=f(x), a relação na forma de integral indefinida é
integral xraiza+bx;dx =23b^2(b x-2a)raiza+bx+C

Passo 4

Para o item (b) temos
F(x)=sin x-13sin^3x+C
Calculando a derivada, usa-se que
(sin x)'=cos x e
(sin^3x)'=3sin^2xcos x. Assim,
F'(x) =cos x-13cdot3sin^2xcos x =cos x-sin^2xcos x =cos x,(1-sin^2x) =cos xcos^2x =cos^3x =f(x)

Passo 5

Portanto, a forma de integral indefinida é
integral cos^3x;dx =sin x-13sin^3x+C

Resposta

integral xraiza+bx;dx =23b^2(b x-2a)raiza+bx+C,
integral cos^3x;dx =sin x-13sin^3x+C

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