Calcule as integrais abaixo.
integral0^1 22 x^2+3 x+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 22x^2+3x+1,dx
O conteúdo necessário aqui é a técnica de decomposição em frações parciais, seguida de integração de logaritmos.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
2x^2+3x+1 = (2x+1)(x+1)

Passo 3

Queremos escrever
22x^2+3x+1 = Ax+1 + B2x+1
Isso implica
2 = A(2x+1) + B(x+1) = (2A + B),x + (A + B)
Igualando coeficientes:
2A + B = 0, A + B = 2
Da primeira vem B = -2A. Substituindo na segunda:
A + (-2A) = 2 Longrightarrow -A = 2 Longrightarrow A = -2, B = 4
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22x^2+3x+1 = -2x+1 + 42x+1

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral -2x+1,dx = -2ln|x+1|, integral 42x+1,dx = 4cdot12ln|2x+1| = 2ln|2x+1|
Portanto um antiderivado é
F(x) = -2ln(x+1) + 2ln(2x+1)

Passo 5

Avaliaremos de 0 a 1:
F(1) = -2ln2 + 2ln3 = 2ln32, F(0) = -2ln1 + 2ln1 = 0
Assim
integral0^1 22x^2+3x+1,dx = F(1) - F(0) = 2ln32

Resposta

2ln32

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