Calcule as integrais abaixo.
integral x^2+2 x+3x^2+4 x+13 d x.

Passo 1

A gente precisa calcular a integral de x^2 + 2x + 3x^2 + 4x + 13 em relação a x. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente de integrais de funções racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos usar técnicas como divisão de polinômios e completar o quadrado para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador. Como ambos são polinômios de grau 2, podemos escrever:
x^2 + 2x + 3x^2 + 4x + 13 = 1 + (x^2 + 2x + 3) - (x^2 + 4x + 13)x^2 + 4x + 13
Simplificando o numerador:
(x^2 + 2x + 3) - (x^2 + 4x + 13) = -2x -10
Então, a fração fica:
1 - 2x + 10x^2 + 4x + 13

Passo 3

Agora, a integral original se transforma em:
integral x^2 + 2x + 3x^2 + 4x + 13 , dx = integral 1 , dx - 2 integral xx^2 + 4x + 13 , dx - 10 integral 1x^2 + 4x + 13 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral 1 , dx = x

Passo 5

Segunda integral: -2 integral xx^2 + 4x + 13 , dx
Para resolver essa, vamos usar substituição. Definimos:
u = x^2 + 4x + 13
Derivando ambos os lados em relação a x:
du = (2x + 4) , dx Rightarrow du2 = (x + 2) , dx
Reescrevemos x em termos de u:
x = u - 2
Mas uma maneira mais simples é ajustar a integral para usar du:
-2 integral xx^2 + 4x + 13 , dx = -12 ln|x^2 + 4x + 13| + C

Passo 6

Terceira integral: -10 integral 1x^2 + 4x + 13 , dx
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9
Então, a integral fica:
-10 integral 1(x + 2)^2 + 9 , dx
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente:
-10 cdot 13 arctan(x + 23) + C = -103 arctan(x + 23) + C

Resposta

A integral vale:
x - ln|x^2 + 4x + 13| - 103 arctan(x + 23) + C
onde C é a constante de integração.

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