Calcule as integrais abaixo.
.
Passo 1
A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente de integrais de funções racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos usar técnicas como divisão de polinômios e completar o quadrado para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador. Como ambos são polinômios de grau 2, podemos escrever:
Simplificando o numerador:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, a integral original se transforma em:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Passo 5
Segunda integral:
Para resolver essa, vamos usar substituição. Definimos:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Reescrevemos
em termos de
:
Mas uma maneira mais simples é ajustar a integral para usar
:
Passo 6
Terceira integral:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente:
Resposta
A integral vale:
onde
é a constante de integração.