Calcule as integrais abaixo.
integral x^2+3 x+1x^2-2 x-3 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2+3x+1x^2-2x-3,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Para resolver, primeiro fazemos divisão de polinômios (quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador) e depois decompondo em frações parciais o quociente restante.

Passo 2

Dividimos x^2+3x+1 por x^2-2x-3. Observamos que
x^2+3x+1 = l(x^2-2x-3r) + (5x+4),
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x^2+3x+1x^2-2x-3 =1 + 5x+4x^2-2x-3

Passo 3

Fatoramos o denominador
x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)
e escrevemos
5x+4(x-3)(x+1) = Ax-3 + Bx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1) obtemos
5x+4 = A(x+1) + B(x-3) = (A+B)x + (A-3B)
Igualando coeficientes:
A + B = 5, A - 3B = 4
Resolvendo o sistema, vem B=tfrac14 e A=tfrac194. Assim
5x+4x^2-2x-3 = 19/4x-3 + 1/4x+1

Passo 4

Substituímos na integral:
integral x^2+3x+1x^2-2x-3,dx = integral 1,dx + integral 19/4x-3,dx + integral 1/4x+1,dx
Agora integramos termo a termo:
integral 1,dx = x, integral 19/4x-3,dx = 194lnl|x-3r|, integral 1/4x+1,dx = 14lnl|x+1r|

Resposta

x + 194lnl|x-3r| + 14lnl|x+1r| + C

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