Calcule as integrais abaixo.
integral 2(x+1)(x-1)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral integral 2(x+1)(x-1)^2 , dx. Estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais para decompor a expressão antes de integrar. Para resolver isso, vamos precisar entender como quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que o integrando é uma fração racional, ou seja, o numerador e o denominador são polinômios. Quando temos uma fração desse tipo, uma técnica comum para resolver integrais é a frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração original em somas de frações mais simples.

Passo 3

A expressão que temos é 2(x+1)(x-1)^2. Vamos assumir que ela pode ser escrita como:
2(x+1)(x-1)^2 = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum (x+1)(x-1)^2, obtendo:
2 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão para identificar os coeficientes.

Passo 5

Expandindo:
2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 1) + C(x + 1)
Agrupando os termos semelhantes:
2 = (A + B)x^2 + (-2A + C)x + (A - B + C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação.

Passo 6

Igualando os coeficientes:
A + B = 0 (coeficiente de x^2) -2A + C = 0 (coeficiente de x) A - B + C = 2 (termo constante)

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: A + B = 0 Rightarrow B = -A.
  2. Da segunda equação: -2A + C = 0 Rightarrow C = 2A.
  3. Substituindo B e C na terceira equação:
A - (-A) + 2A = 2 Rightarrow A + A + 2A = 2 Rightarrow 4A = 2 Rightarrow A = 12
Então, A = 12, B = -12, e C = 1.

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
2(x+1)(x-1)^2 = 12x+1 + -12x-1 + 1(x-1)^2
Simplificando:
2(x+1)(x-1)^2 = 12(x+1) - 12(x-1) + 1(x-1)^2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x+1)(x-1)^2 , dx = integral 12(x+1) , dx - integral 12(x-1) , dx + integral 1(x-1)^2 , dx

Passo 10

Calculando cada integral:
  1. integral 12(x+1) , dx = 12 ln|x+1| + C1
  2. integral 12(x-1) , dx = 12 ln|x-1| + C2
  3. integral 1(x-1)^2 , dx = -1x-1 + C3

Passo 11

Juntando tudo e simplificando as constantes (já que C1, C2 e C3 são constantes de integração que podem ser combinadas em uma só constante C):
integral 2(x+1)(x-1)^2 , dx = 12 ln|x+1| - 12 ln|x-1| - 1x-1 + C

Resposta

integral 2(x+1)(x-1)^2 , dx = 12 ln|x+1| - 12 ln|x-1| - 1x-1 + C

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