Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral . Estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais para decompor a expressão antes de integrar. Para resolver isso, vamos precisar entender como quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que o integrando é uma fração racional, ou seja, o numerador e o denominador são polinômios. Quando temos uma fração desse tipo, uma técnica comum para resolver integrais é a frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração original em somas de frações mais simples.
Passo 3
A expressão que temos é . Vamos assumir que ela pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum , obtendo:
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão para identificar os coeficientes.
Passo 5
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação.
Passo 6
Igualando os coeficientes:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: A + B = 0 Rightarrow B = -A.
Da segunda equação: -2A + C = 0 Rightarrow C = 2A.
Substituindo B e C na terceira equação:
A - (-A) + 2A = 2 Rightarrow A + A + 2A = 2 Rightarrow 4A = 2 Rightarrow A = 12
Então, A = 12, B = -12, e C = 1.
Passo 8
Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
2(x+1)(x-1)^2 = 12x+1 + -12x-1 + 1(x-1)^2
Simplificando:
2(x+1)(x-1)^2 = 12(x+1) - 12(x-1) + 1(x-1)^2
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x+1)(x-1)^2 , dx = integral 12(x+1) , dx - integral 12(x-1) , dx + integral 1(x-1)^2 , dx
Passo 10
Calculando cada integral:
integral 12(x+1) , dx = 12 ln|x+1| + C1
integral 12(x-1) , dx = 12 ln|x-1| + C2
integral 1(x-1)^2 , dx = -1x-1 + C3
Passo 11
Juntando tudo e simplificando as constantes (já que C1, C2 e C3 são constantes de integração que podem ser combinadas em uma só constante C):
integral 2(x+1)(x-1)^2 , dx = 12 ln|x+1| - 12 ln|x-1| - 1x-1 + C
Resposta
integral 2(x+1)(x-1)^2 , dx = 12 ln|x+1| - 12 ln|x-1| - 1x-1 + C