Calcule as integrais abaixo.
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Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral de uma fração bem complicada: $ \int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} , dx $. Isso pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de integrais de frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de frações parciais, que vai nos ajudar a decompor essa fração complicada em partes mais simples que podemos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração $ \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} $ em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações com denominadores mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
Passo 3
Agora, vamos somar as frações do lado direito para encontrar uma expressão comum:
Como as duas frações são iguais, os numeradores também devem ser iguais:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Passo 5
Agora, equacionamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
Para $ x^2 $:
Para $ x $:
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Começamos da última equação:
Substituindo $ A $ na primeira equação:
E na segunda equação:
Passo 7
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
- $ B + C = \frac{1}{6} $
- $ 3B - 2C = \frac{7}{6} $
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ B $ em termos de $ C $:
Substituindo esse valor na segunda equação:
Agora, substituindo $ C $ na expressão para $ B $:
Passo 8
Agora que encontramos $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a fração original decomposta:
Passo 9
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Passo 10
As integrais são básicas e resultam em logaritmos:
onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A integral de $ \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} , dx $ é: