Calcule as integrais abaixo.
integral x+1x(x-2)(x+3) d x.

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral de uma fração bem complicada: $ \int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} , dx $. Isso pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de integrais de frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de frações parciais, que vai nos ajudar a decompor essa fração complicada em partes mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração $ \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} $ em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações com denominadores mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
x+1x(x-2)(x+3)

Passo 3

Agora, vamos somar as frações do lado direito para encontrar uma expressão comum:
Ax + Bx-2 + Cx+3 = A(x-2)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-2)x(x-2)(x+3)
Como as duas frações são iguais, os numeradores também devem ser iguais:
x + 1 = A(x-2)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-2)

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
x + 1 = A(x^2 + 3x - 2x - 6) + B(x^2 + 3x) + C(x^2 - 2x)
x + 1 = A(x^2 + x - 6) + B(x^2 + 3x) + C(x^2 - 2x)
x + 1 = (A + B + C)x^2 + (A + 3B - 2C)x - 6A

Passo 5

Agora, equacionamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
Para $ x^2 $:
x^2
Para $ x $:
A + B + C = 0
Para o termo constante:
x

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos da última equação:
-6A = 1 implies A = -16
Substituindo $ A $ na primeira equação:
A
E na segunda equação:
-16 + B + C = 0 implies B + C = 16

Passo 7

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
  1. $ B + C = \frac{1}{6} $
  2. $ 3B - 2C = \frac{7}{6} $
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ B $ em termos de $ C $:
B + C = 16
Substituindo esse valor na segunda equação:
3B - 2C = 76
B
C
B = 16 - C
3(16 - C) - 2C = 76
Agora, substituindo $ C $ na expressão para $ B $:
36 - 3C - 2C = 76

Passo 8

Agora que encontramos $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a fração original decomposta:
A
B

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral x+1x(x-2)(x+3) , dx = integral ( -16x + 310(x-2) - 215(x+3) ) dx
Integrando termo a termo:
= -16 integral 1x , dx + 310 integral 1x-2 , dx - 215 integral 1x+3 , dx

Passo 10

As integrais são básicas e resultam em logaritmos:
= -16 ln|x| + 310 ln|x-2| - 215 ln|x+3| + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A integral de $ \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} , dx $ é:
x+1x(x-2)(x+3) , dx

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