é contínua em 1? Justifique.

Passo 1

Estamos com uma função definida por partes e queremos testar se ela é contínua em 1; o conteúdo é definição de continuidade e cálculo de limites laterais.

Passo 2

Para verificar continuidade em x=1, usamos a definição: f é contínua em 1 se limxto1f(x) existe e é igual a f(1). Para existir limxto1f(x) precisamos que os limites laterais sejam iguais.

Passo 3

Calculamos o limite à esquerda: observe que para x<1 temos f(x)=2x. Então
limxto1^-f(x)=limxto1^-2x=2 .
Calculamos o limite à direita: para x>1 temos f(x)=1. Logo
limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1 .

Passo 4

Agora avaliamos o valor da função em 1: como 1<=1, temos f(1)=2cdot1=2.
Como os limites laterais são diferentes (2 à esquerda e 1 à direita), limxto1f(x) não existe e portanto não pode igualar f(1). Logo há descontinuidade em 1.

Resposta

Não, f não é contínua em 1, pois limxto1^-f(x)=2 e limxto1^+f(x)=1 são diferentes, de modo que não existe limite único em 1 e a definição de continuidade falha.

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