Calcule as integrais abaixo:
integral-infty^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral-infty^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) dx
Aqui, estamos lidando com uma integral definida que envolve funções racionais (quociente de polinômios). Para resolver, vamos precisar usar frações parciais e propriedades das integrais de funções pares.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função que estamos integrando é par, porque x^2(x^2+1)(x^2+5) é igual a (-x)^2((-x)^2+1)((-x)^2+5). Isso significa que podemos simplificar a integral usando a simetria:
integral-infty^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) dx = 2 integral0^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x^2(x^2+1)(x^2+5) em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que:
x^2(x^2+1)(x^2+5) = Ax^2+1 + Bx^2+5
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x^2+5) para eliminar os denominadores:
x^2 = A(x^2 + 5) + B(x^2 + 1)
Expandindo e agrupando termos:
x^2 = (A + B)x^2 + (5A + B)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 1 5A + B = 0
Resolvendo o sistema:
A = -14, B = 54
Então, a fração original fica:
x^2(x^2+1)(x^2+5) = -14x^2+1 + 54x^2+5

Passo 4

Agora, substituímos essa decomposição na integral:
2 integral0^+infty ( -14x^2+1 + 54x^2+5 ) dx = 2 ( -14 integral0^+infty dxx^2+1 + 54 integral0^+infty dxx^2+5 )
Sabemos que:
integral dxx^2+a^2 = 1a arctan( xa ) + C
Aplicando isso às integrais:
-14 cdot pi2 + 54 cdot pi2raiz5 = -pi8 + 5pi8raiz5

Passo 5

Multiplicando por 2 (devido à simetria da função par):
2 ( -pi8 + 5pi8raiz5 ) = -pi4 + 5pi4raiz5 = pi (raiz5 - 1)4

Resposta

A integral vale pi ( raiz5 - 1 )4.

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