Calcule as integrais abaixo:
integral-infty^+infty 1(x^4+1) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral
integral-infty^+infty 1x^4 + 1 , dx
. Esse é um exercício de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais impróprias de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 + 1. Sabemos que podemos escrever:
x^4 + 1 = (x^2 + raiz2,x + 1)(x^2 - raiz2,x + 1)

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1x^4 + 1 como soma de frações parciais:
1x^4 + 1 = A,x + Bx^2 + raiz2,x + 1 + C,x + Dx^2 - raiz2,x + 1
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^4 + 1 para eliminar os denominadores:
1 = (A,x + B)(x^2 - raiz2,x + 1) + (C,x + D)(x^2 + raiz2,x + 1)

Passo 5

Vamos expandir os termos:
1 = (A,x^3 - A,raiz2,x^2 + A,x + B,x^2 - B,raiz2,x + B) + (C,x^3 + C,raiz2,x^2 + C,x + D,x^2 + D,raiz2,x + D)

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + C),x^3 + (-A,raiz2 + B + C,raiz2 + D),x^2 + (A - B,raiz2 + C + D,raiz2),x + (B + D)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + C = 0 - A,raiz2 + B + C,raiz2 + D = 0 A - B,raiz2 + C + D,raiz2 = 0 B + D = 1

Passo 8

Da primeira equação, temos [C = -A). Substituindo nas outras:
Da segunda equação, , então e .

Passo 9

Voltando à primeira equação modificada:
-2A,raiz2 + 12 + 12 = 0 -2A,raiz2 + 1 = 0 A = 12raiz2
E como C = -A, então C = -12raiz2.

Passo 10

Agora que temos todos os coeficientes, a decomposição em frações parciais fica:
1x^4 + 1 = 12raiz2,x + 12x^2 + raiz2,x + 1 + -12raiz2,x + 12x^2 - raiz2,x + 1

Passo 11

Vamos integrar cada fração separadamente:
integral 1x^4 + 1 , dx = 12raiz2 integral xx^2 + raiz2,x + 1 , dx + 12 integral 1x^2 + raiz2,x + 1 , dx + (-12raiz2) integral xx^2 - raiz2,x + 1 , dx + 12 integral 1x^2 - raiz2,x + 1 , dx

Passo 12

Cada uma dessas integrais pode ser resolvida completando o quadrado no denominador e utilizando substituições simples. Por exemplo, para integrar xx^2 + raiz2,x + 1, fazemos uma substituição u = x^2 + raiz2,x + 1, facilitando a integração.
Após resolver todas as integrais, somamos os resultados.

Resposta

A integral converge para:
integral-infty^+infty 1x^4+1 , dx = piraiz2

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