. Esse é um exercício de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais impróprias de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração como soma de frações parciais:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 8
Da primeira equação, temos [C = -A). Substituindo nas outras:
integral 1x^4 + 1 , dx = 12raiz2 integral xx^2 + raiz2,x + 1 , dx + 12 integral 1x^2 + raiz2,x + 1 , dx + (-12raiz2) integral xx^2 - raiz2,x + 1 , dx + 12 integral 1x^2 - raiz2,x + 1 , dx
Passo 12
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida completando o quadrado no denominador e utilizando substituições simples. Por exemplo, para integrar xx^2 + raiz2,x + 1, fazemos uma substituição u = x^2 + raiz2,x + 1, facilitando a integração.
Após resolver todas as integrais, somamos os resultados.