1. Seja c in C. Mostre que, se tildea(z) convergir em |z|>R, então Z(c^n an)(z) convergirá em |z|>|c| R, e
Z(c^n an)(z)=tildea(zc)

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência an com transformada de Z
tildea(z)=Z(an)(z)=sumn=0^inftyan,z^-n
que converge em lvert zrvert>R. Precisamos mostrar que a transformada de Z da sequência c^n an converge em lvert zrvert>|c|R e que
Z(c^n an)(z)=tildea!l(z/cr)

Passo 2

Aplique diretamente a definição de transformada de Z à sequência c^n an:
Z(c^n an)(z) =sumn=0^infty(c^n an),z^-n

Passo 3

Dentro da soma, reescreva c^n z^-n=(z/c)^-n. Assim,
sumn=0^inftyc^n an,z^-n =sumn=0^inftyan,(z/c)^-n =tildea!l(z/cr)

Passo 4

Para que a série sum an,(z/c)^-n convirja, precisamos de
lvert z/crvert>R, ou seja,
lvert zrvert>R,lvert crvert
Logo a região de convergência de Z(c^n an) é lvert zrvert>|c|R.

Resposta

Z(c^n an)(z)=tildea!l(zcr), com região de convergência lvert zrvert>|c|R ãê

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