Calcule as integrais abaixo:
integral-pi^pi 11+sin ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-pi^pi11+sin^2 x,dx.
O conteúdo principal envolve simetria de funções pares e uma substituição trigonométrica para avaliar o integral resultante.

Passo 2

Note que a função
f(x)=11+sin^2 x
é par, pois sin^2(-x)=sin^2 x. Logo
integral-pi^pif(x),dx = 2integral0^pif(x),dx
Além disso, em [0,pi] temos sin(pi-x)=sin x, então
integral0^pif(x),dx = 2integral0^pi/2f(x),dx
Combinando as duas simetrias,
integral-pi^pi11+sin^2 x,dx = 4integral0^pi/2dx1+sin^2 x

Passo 3

Para avaliar
integral0^pi/2dx1+sin^2 x,
fazemos a substituição
t=tan x, de modo que
dx=dt1+t^2
e
sin^2 x=t^21+t^2.
Quando x vai de 0 a pi/2, t vai de 0 a infty. Assim:
integral0^pi/2dx1+sin^2 x =integral0^infty11+t^21+t^2;dt1+t^2 =integral0^inftydt1+2t^2

Passo 4

O integral
integral0^inftydt1+2t^2
é um caso padrão:
integral0^inftydt1+2t^2 =1raiz2l[arctanl(raiz2,tr)r]0^infty =1raiz2cdotpi2 =pi2raiz2
Portanto, voltando ao inteiro original:
integral-pi^pi11+sin^2 x,dx =4cdotpi2raiz2 =4pi2raiz2 =2piraiz2 =piraiz2

Resposta

piraiz2

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