Calcule as integrais abaixo:
integral0^2 pi[2 cos ^3(x)+4 sin ^5(x)] d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^2pil[2cos^3(x)+4sin^5(x)r],dx
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas ao longo de um período completo. Vamos usar as identidades de redução (ou paridade e periodicidade) para expressar cos^3(x) e sin^5(x) em termos de senos e cossenos de múltiplos de x.

Passo 2

Separamos a integral em duas:
I = 2integral0^2picos^3(x),dx ;+;4integral0^2pisin^5(x),dx

Passo 3

Para integral0^2picos^3(x),dx usamos a identidade de redução
cos^3(x) = 14l(3cos(x)+cos(3x)r)
Então
integral0^2picos^3(x),dx = 14l(3integral0^2picos(x),dx + integral0^2picos(3x),dxr)
Como
integral0^2picos(kx),dx=0 para todo inteiro kneq0, segue que
integral0^2picos^3(x),dx = 0
Portanto
2integral0^2picos^3(x),dx = 0

Passo 4

Para integral0^2pisin^5(x),dx usamos a identidade de redução
sin^5(x) = 116l(10sin(x)-5sin(3x)+sin(5x)r)
Logo
integral0^2pisin^5(x),dx = 116l(10integral0^2pisin(x),dx -5integral0^2pisin(3x),dx + integral0^2pisin(5x),dxr)
E como
integral0^2pisin(kx),dx=0 para todo inteiro kneq0, resulta que
integral0^2pisin^5(x),dx = 0,
portanto
4integral0^2pisin^5(x),dx = 0

Passo 5

Somando as duas partes:
I = 2integral0^2picos^3(x),dx + 4integral0^2pisin^5(x),dx = 0 + 0 = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados