Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral dupla que você mandou:
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais múltiplas. Vamos precisar saber como resolver integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral dupla. Aqui, estamos integrando a função
sobre a região onde
vai de
a
e
vai de
a
.
A ideia é fazer duas integrações sucessivas: integrar primeiro em relação a
mantendo
fixo, e depois integrar o resultado em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
com respeito a
, mantendo
constante. A integral fica assim:
Integrando termo a termo:
- A integral de
em relação a é , porque é constante em relação a . - A integral de
em relação a é . - A integral de
em relação a é .
Então:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
e
:
Passo 4
Vamos substituir os limites na expressão que encontramos:
Para
:
Para
:
Agora, subtraímos os resultados:
Passo 5
Agora que integramos em relação a
, restou uma integral em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
em relação a é .
Então:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral dupla vale
.