Calcule as integrais abaixo.
integral-1^3 integral1 / 2^2 x+y-2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral dupla que você mandou:
integral-1^3 integral12^2 (x + y - 2) , dy , dx
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais múltiplas. Vamos precisar saber como resolver integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral dupla. Aqui, estamos integrando a função f(x, y) = x + y - 2 sobre a região onde x vai de -1 a 3 e y vai de 12 a 2.
A ideia é fazer duas integrações sucessivas: integrar primeiro em relação a y mantendo x fixo, e depois integrar o resultado em relação a x .

Passo 3

Vamos começar integrando a função f(x, y) = x + y - 2 com respeito a y , mantendo x constante. A integral fica assim:
integral12^2 (x + y - 2) , dy
Integrando termo a termo:
  • A integral de x em relação a y é x cdot y , porque x é constante em relação a y .
  • A integral de y em relação a y é 12 y^2 .
  • A integral de -2 em relação a y é -2y.
Então:
integral (x + y - 2) , dy = x y + 12 y^2 - 2 y
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de y = 12 e y = 2 :
[ x y + 12 y^2 - 2 y ]12^2

Passo 4

Vamos substituir os limites na expressão que encontramos:
Para y = 2 :
x cdot 2 + 12 cdot (2)^2 - 2 cdot 2 = 2x + 2 - 4 = 2x - 2
Para y = 12 :
x cdot 12 + 12 cdot (12)^2 - 2 cdot 12 = x2 + 18 - 1 = x2 - 78
Agora, subtraímos os resultados:
(2x - 2) - ( x2 - 78 ) = 2x - 2 - x2 + 78 = 3x2 - 98

Passo 5

Agora que integramos em relação a y , restou uma integral em relação a x :
integral-1^3 ( 3x2 - 98 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
  • A integral de 3x2 em relação a x é 34 x^2 .
  • A integral de -98 em relação a x é -98 x .
Então:
34 x^2 - 98 x
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de x = -1 e x = 3 :
Para x = 3 :
34 cdot 9 - 98 cdot 3 = 274 - 278 = 548 - 278 = 278
Para x = -1 :
34 cdot 1 - 98 cdot (-1) = 34 + 98 = 68 + 98 = 158
Subtraindo:
278 - 158 = 128 = 32

Resposta

A integral dupla vale 32 .

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