Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
Se f: R R é tal que |f| é contínua em x=0, então f é contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma função fcolonRtoR, a continuidade de lvert frvert em x=0 implica a continuidade de f em x=0. O conteúdo envolvido é definição de continuidade e propriedades da função valor absoluto.

Passo 2

Vamos construir um contra-exemplo clássico. Defina
Escolhemos ainda está bem definida em todo .

Passo 3

  1. Calculemos
Logo , ou seja, é a função constante , que é contínua em .
  1. Verifiquemos a continuidade de em . Os limites lateral esquerdo e direito são
Como esses limites não coincidem, não tem limite em e, portanto, não é contínua em .

Resposta

A afirmação é falsa. O contra-exemplo acima mostra que lvert frvert pode ser contínua em 0 sem que f seja contínua em 0.

Exercícios relacionados