Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
Se
é tal que
é contínua em
, então
é contínua em
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma função
, a continuidade de
em
implica a continuidade de
em
. O conteúdo envolvido é definição de continuidade e propriedades da função valor absoluto.
Passo 2
Vamos construir um contra-exemplo clássico. Defina
Escolhemos ainda está bem definida em todo
.
Passo 3
- Calculemos
Logo , ou seja,
é a função constante
, que é contínua em
.
- Verifiquemos a continuidade de
em . Os limites lateral esquerdo e direito são
Como esses limites não coincidem,
não tem limite em
e, portanto, não é contínua em
.
Resposta
A afirmação é falsa. O contra-exemplo acima mostra que
pode ser contínua em
sem que
seja contínua em
.