Calcule o volume do sólido S em cada caso.
S é o tetraedro limitado por quatro superfícies, cujas equações são as seguintes x=2 y, z=2-x-2 y, x=0 e z=0.

Passo 1

Vamos calcular o volume do tetraedro S usando integração tripla. As superfícies que o delimitam são
x=0, x=2y, z=0, z=2 - x - 2y
O volume será
V = integral triplaS dV
Para isso, projetamos S no plano xy, obtendo a região D, e depois integramos em ordem dz,dy,dx.

Passo 2

A projeção D no plano xy é dada por
x>=0, x<=2y, x + 2y <= 2
Essas três retas formam um triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,tfrac12).
Para parametrizar D, escolhemos x variando de 0 a 1 e, para cada x, y sai de
y = x2 até y = 1 - x2, é

Passo 3

Escrevemos o volume como
V = integralx=0^1 integraly=x2^,1-x2 integralz=0^,2 - x - 2y dz,dy,dx
A integral em z é imediata:
integral0^2 - x - 2y dz = 2 - x - 2y

Passo 4

Agora calculamos
integraly=x2^,1-x2 (2 - x - 2y),dy
Uma primitiva em y é
(2 - x),y ;-; y^2
Avaliando de y=tfracx2 até y=1-tfracx2
l[(2 - x)y - y^2r]y=x2^,1-x2 =1 - 2x + x^2
Logo
V = integral0^1 l(1 - 2x + x^2r),dx = l[x - x^2 + tfracx^33r]0^1 = 13

Resposta

boxed13

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