Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é assim:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades em regiões bidimensionais. Vamos precisar integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar com respeito a $ y $. Olha só, a expressão dentro da integral, $ \sqrt{5} - \cos x $, não depende de $ y $. Isso significa que, ao integrar em $ y $, podemos tratar $ \sqrt{5} - \cos x $ como uma constante. Então, a integral em $ y $ fica assim:
Passo 3
Depois de integrar em $ y $, o que sobra é uma integral simples em $ x $. Agora, nossa integral fica:
Podemos tirar o 2 da integral para simplificar:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, a integral de $ \sqrt{5} $ em $ x $:
Agora, a integral de $ \cos x $ em $ x $:
Passo 6
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
Resposta
O valor da integral dupla é: