Calcule as integrais abaixo.
integral0^pi / 2 integral-2^0 raiz5-cos x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é assim:
integral0^pi / 2 integral-2^0 (raiz5 - cos x) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades em regiões bidimensionais. Vamos precisar integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar com respeito a $ y $. Olha só, a expressão dentro da integral, $ \sqrt{5} - \cos x $, não depende de $ y $. Isso significa que, ao integrar em $ y $, podemos tratar $ \sqrt{5} - \cos x $ como uma constante. Então, a integral em $ y $ fica assim:
y

Passo 3

Depois de integrar em $ y $, o que sobra é uma integral simples em $ x $. Agora, nossa integral fica:
y
Podemos tirar o 2 da integral para simplificar:
x

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
2 ( integral0^pi / 2 raiz5 , dx - integral0^pi / 2 cos x , dx )
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeiro, a integral de $ \sqrt{5} $ em $ x $:
raiz5
Agora, a integral de $ \cos x $ em $ x $:
x

Passo 6

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
2 ( raiz5 pi2 - 1 ) = raiz5 pi - 2

Resposta

O valor da integral dupla é:
raiz5 pi - 2

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