Calcule as integrais abaixo.
integral1^2 integral0^3 2 x^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral1^2 integral0^3 2x^2 y , dx , dy. Isso envolve integrar uma função de duas variáveis, x e y, sobre uma região definida pelos limites de x de 0 a 3 e de y de 1 a 2. Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, onde integramos uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a x. Nessa parte, y é tratado como uma constante. Então, temos:
integral0^3 2x^2 y , dx
Como y é constante em relação a x, podemos tirá-lo da integral:
2y integral0^3 x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar x^2 em relação a x. A antiderivada de x^2 é x^33, então:
2y [ x^33 ]0^3 = 2y ( 3^33 - 0^33 ) = 2y ( 273 - 0 ) = 2y times 9 = 18y
Então, a integral interna resulta em 18y.

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado 18y em relação a y de 1 a 2:
integral1^2 18y , dy
A antiderivada de 18y é 9y^2, então:
9y^2 |1^2 = 9(2^2) - 9(1^2) = 9 times 4 - 9 times 1 = 36 - 9 = 27

Resposta

A integral dupla vale 27.

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