Calcule as integrais abaixo.
integral0^3 integral0^1 raizx+y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integraly=0^3integralx=0^1raizx+y,dx,dy
O conteúdo é aplicação de Fubini para integrar primeiro em x (com y fixo) e depois em y.

Passo 2

Para a integral interna em x, fazemos a substituição u = x+y, logo du = dx e quando x=0 temos u=y, e quando x=1 temos u=y+1. Assim,
integral0^1raizx+y,dx = integralu=y^y+1u^1/2,du = [23u^3/2]u=y^y+1 = 23l((y+1)^3/2-y^3/2r)

Passo 3

Substituindo na integral em y, obtemos
integral0^3integral0^1raizx+y,dx,dy = integral0^323l((y+1)^3/2-y^3/2r),dy = 23integral0^3l((y+1)^3/2-y^3/2r),dy

Passo 4

Separando em duas integrais:
integral0^3(y+1)^3/2,dy, integral0^3y^3/2,dy
Para a primeira, mude t=y+1, obtendo
integraly=0^3(y+1)^3/2,dy = integralt=1^4t^3/2,dt = [25t^5/2]1^4 = 25(4^5/2-1) = 25(32-1) = 625
Para a segunda,
integral0^3y^3/2,dy = [25y^5/2]0^3 = 25,3^5/2 = 25cdot9raiz3 = 185raiz3

Passo 5

Subtraindo e multiplicando pelo fator tfrac23:
23l(625-185raiz3r) = 215l(62-18raiz3r) = 12415-125raiz3

Resposta

integral0^3integral0^1raizx+y,dx,dy = 12415-125raiz3

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