Esboce a região de integração das integrais abaixo, reescreva cada uma mudando a ordem das variáveis de integração e calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral
depois reescrever essa integral trocando a ordem de integração e, por fim, calcular o valor da integral. O conteúdo envolvido é integração dupla em regiões do plano e troca de ordem de integração.
Passo 2
A região
em coordenadas
vem de
Geometricamente, é o triângulo com vértices
,
e
, limitado pela reta
(ou
) e pelas retas
e
. Um esboço aproximado é:
Passo 3
Para trocar a ordem, vemos que em
o
varia de
a
e, para cada
, o
vai de
até a reta
. Logo
e a integral fica
Passo 4
Como
não depende de
, a integral interna em
dá um fator
:
Fazendo a substituição
,
, temos