Esboce a região de integração das integrais abaixo, reescreva cada uma mudando a ordem das variáveis de integração e calcule as integrais.
integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral
integral0^1integral3y^3e^x^2;dx,dy,
depois reescrever essa integral trocando a ordem de integração e, por fim, calcular o valor da integral. O conteúdo envolvido é integração dupla em regiões do plano e troca de ordem de integração.

Passo 2

A região R em coordenadas (x,y) vem de
0 <= y <= 1, 3y <= x <= 3
Geometricamente, é o triângulo com vértices (0,0), (3,0) e (3,1), limitado pela reta x=3y (ou y=x3) e pelas retas y=0 e x=3. Um esboço aproximado é:
l y uparrow 1 bul<=t (3,1) | backslash | backslash 0 bul<=t ─── bul<=t (3,0) to x 0

Passo 3

Para trocar a ordem, vemos que em R o x varia de 0 a 3 e, para cada x, o y vai de 0 até a reta y=x/3. Logo
R=(x,y)mid 0<= x<=3,;0<= y<= x/3
e a integral fica
integral0^1integral3y^3e^x^2,dx,dy = integral0^3integral0^x/3e^x^2,dy,dx

Passo 4

Como e^x^2 não depende de y, a integral interna em y dá um fator x/3:
integral0^3integral0^x/3e^x^2,dy,dx =integral0^3e^x^2l[yr]0^x/3,dx =integral0^3x3e^x^2,dx =13integral0^3x,e^x^2,dx
Fazendo a substituição u=x^2, du=2x,dx, temos
13integral0^3x,e^x^2,dx =13cdot12integral0^9e^u,du =16l[e^ur]0^9 =16l(e^9-1r)

Resposta

e^9-16

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