Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções radicais, especificamente do tipo . Para resolver isso, vamos precisar usar um método de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com expressões quadráticas dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual substituição trigonométrica é mais adequada para essa integral. Para uma expressão da forma , a substituição recomendada é:
Onde é 2025 neste caso. Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz porque:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Passo 4
Substituindo e na integral original, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral . Sabemos que , então:
A integral de é um pouco mais complexa, mas sabemos que:
E a integral de é:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão, temos:
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que:
Substituindo esses valores:
E:
Passo 8
Finalmente, substituindo tudo de volta, a integral fica:
2025^22 cdot x raizx^2 - 2025^22025^2 - 2025^22 cdot ln|x + raizx^2 - 2025^22025| + C = x raizx^2 - 2025^22 - 2025^22 ln|x + raizx^2 - 2025^2| + C
Resposta
A integral de raizx^2 - 2025^2 , dx é:
x raizx^2 - 2025^22 - 2025^22 ln|x + raizx^2 - 2025^2| + C