Calcule as integrais abaixo:
integral raizx^2-2025^2 d x

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de raizx^2 - 2025^2 , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções radicais, especificamente do tipo raizx^2 - a^2. Para resolver isso, vamos precisar usar um método de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com expressões quadráticas dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual substituição trigonométrica é mais adequada para essa integral. Para uma expressão da forma raizx^2 - a^2, a substituição recomendada é:
x = a sec(theta)
Onde a é 2025 neste caso. Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz porque:
raizx^2 - a^2 = raiza^2 sec^2(theta) - a^2 = a tan(theta)

Passo 3

Agora, vamos derivar x em relação a theta para encontrar dx:
x = 2025 sec(theta) dx = 2025 sec(theta) tan(theta) , dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral raizx^2 - 2025^2 , dx = integral a tan(theta) cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta = 2025^2 integral tan^2(theta) sec(theta) , dtheta

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral integral tan^2(theta) sec(theta) , dtheta. Sabemos que tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1, então:
integral (sec^2(theta) - 1) sec(theta) , dtheta = integral sec^3(theta) , dtheta - integral sec(theta) , dtheta
A integral de sec^3(theta) é um pouco mais complexa, mas sabemos que:
integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln|sec(theta) + tan(theta)|| + C
E a integral de sec(theta) é:
integral sec(theta) , dtheta = ln|sec(theta) + tan(theta)|| + C

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, temos:
2025^2 ( 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln|sec(theta) + tan(theta)| - ln|sec(theta) + tan(theta)| ) + C = 2025^2 ( 12 sec(theta) tan(theta) - 12 ln|sec(theta) + tan(theta)| ) + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x. Sabemos que:
sec(theta) = x2025 tan(theta) = raizx^2 - 2025^22025
Substituindo esses valores:
12 sec(theta) tan(theta) = 12 cdot x2025 cdot raizx^2 - 2025^22025 = x raizx^2 - 2025^22 cdot 2025^2
E:
ln|sec(theta) + tan(theta)| = ln|x2025 + raizx^2 - 2025^22025| = ln|x + raizx^2 - 2025^22025|

Passo 8

Finalmente, substituindo tudo de volta, a integral fica:
2025^22 cdot x raizx^2 - 2025^22025^2 - 2025^22 cdot ln|x + raizx^2 - 2025^22025| + C = x raizx^2 - 2025^22 - 2025^22 ln|x + raizx^2 - 2025^2| + C

Resposta

A integral de raizx^2 - 2025^2 , dx é:
x raizx^2 - 2025^22 - 2025^22 ln|x + raizx^2 - 2025^2| + C
Onde C é a constante de integração.

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