Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
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Usando o método da redução de ordem, encontre a segunda solução da EDO dada.
(a) y^prime prime+5 y^prime=0 y1=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a segunda solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada utilizando o método da redução de ordem. A equação que temos é:
y'' + 5y' = 0 e sabemos que y1 = 1
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método da redução de ordem para encontrar uma solução adicional que seja independente da primeira.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução geral de uma EDO. Para uma equação diferencial de segunda ordem, a solução geral é uma combinação linear de duas soluções independentes:
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x)
Aqui, já temos uma solução conhecida, y1 = 1 , e nosso objetivo é encontrar y2 .

Passo 3

O método da redução de ordem nos ajuda a encontrar uma segunda solução ( y2 ) sabendo que já temos uma solução ( y1 ). A ideia é assumir que y2 pode ser escrita como:
y2(x) = v(x) cdot y1(x)
Como y1 = 1 , então:
y2(x) = v(x)

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de y2 :
y2' = v'(x) y2'' = v''(x)
Substituindo essas na equação original y'' + 5y' = 0 :
v''(x) + 5v'(x) = 0

Passo 5

Essa equação para v(x) é uma EDO de primeira ordem para v'(x) . Vamos simplificar fazendo:
u = v'(x)
Então, a equação fica:
u' + 5u = 0

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral 5 dx = e^5x
Multiplicamos a equação inteira por mu(x) :
e^5x u' + 5 e^5x u = 0
Isso simplifica para:
ddx ( e^5x u ) = 0

Passo 7

Integrando ambos os lados:
e^5x u = C u = C e^-5x
Lembrando que u = v'(x) , temos:
v'(x) = C e^-5x
Integrando novamente para encontrar v(x) :
v(x) = integral C e^-5x dx = -C5 e^-5x + D

Passo 8

Agora, substituímos v(x) na expressão de y2 :
y2(x) = v(x) = -C5 e^-5x + D
Como D representa uma constante, podemos absorvê-la na constante da solução geral. Ignorando os constantes multiplicativos, podemos escolher:
y2(x) = e^-5x

Resposta

A segunda solução da EDO y'' + 5y' = 0 é:
y2(x) = e^-5x

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