Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
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Usando o método da redução de ordem, encontre a segunda solução da EDO dada.
(a)
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Usando o método da redução de ordem, encontre a segunda solução da EDO dada.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a segunda solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada utilizando o método da redução de ordem. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método da redução de ordem para encontrar uma solução adicional que seja independente da primeira.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução geral de uma EDO. Para uma equação diferencial de segunda ordem, a solução geral é uma combinação linear de duas soluções independentes:
Aqui, já temos uma solução conhecida,
, e nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
O método da redução de ordem nos ajuda a encontrar uma segunda solução (
) sabendo que já temos uma solução (
). A ideia é assumir que
pode ser escrita como:
Como
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo essas na equação original
:
Passo 5
Essa equação para
é uma EDO de primeira ordem para
. Vamos simplificar fazendo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos a equação inteira por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como
representa uma constante, podemos absorvê-la na constante da solução geral. Ignorando os constantes multiplicativos, podemos escolher:
Resposta
A segunda solução da EDO
é: