Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
. Esse tipo de integral pertence ao estudo do Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções irracionais e a técnica de substituição trigonométrica ou hiperbólica. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Observamos que a integral tem a forma
, onde
. Sabemos que para integrais desse tipo, uma substituição adequada é
, mas também podemos usar substituições hiperbólicas. Vamos optar por uma substituição mais simples usando logaritmos, que nos leva diretamente à solução.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, onde
é a função cosseno hiperbólico. Calculando
, temos:
Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Que é simplesmente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Portanto, a solução da integral é:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.