Calcule as integrais abaixo:
integral d xraizx^2-2^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral integral dxraizx^2 - 2^2. Esse tipo de integral pertence ao estudo do Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções irracionais e a técnica de substituição trigonométrica ou hiperbólica. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Observamos que a integral tem a forma integral dxraizx^2 - a^2, onde a = 2. Sabemos que para integrais desse tipo, uma substituição adequada é x = a sec(theta), mas também podemos usar substituições hiperbólicas. Vamos optar por uma substituição mais simples usando logaritmos, que nos leva diretamente à solução.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = 2 cosh(u), onde cosh(u) é a função cosseno hiperbólico. Calculando dx, temos:
dx = 2 sinh(u) du
Substituindo na integral:
integral 2 sinh(u) duraiz(2 cosh(u))^2 - 4 = integral 2 sinh(u) duraiz4 cosh^2(u) - 4 = integral 2 sinh(u) duraiz4 (cosh^2(u) - 1)

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz4 (cosh^2(u) - 1) = raiz4 sinh^2(u) = 2 sinh(u)
Portanto, a integral fica:
integral 2 sinh(u) du2 sinh(u) = integral du
Que é simplesmente:
u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 2 cosh(u), então:
u = cosh^-1(x2)
Portanto, a solução da integral é:
cosh^-1(x2) + C

Resposta

A integral integral dxraizx^2-2^2 é igual a cosh^-1(x2) + C, onde C é a constante de integração.

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