Calcule as integrais abaixo:
integral d xraizx^2+3^2

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dxraizx^2+3^2. Esse problema envolve cálculo integral, especificamente integrais que contêm raízes quadradas de somas de quadrados. Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é x^2 + 3^2. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, escolhendo x = 3 tan theta. Essa substituição simplifica a integral envolvendo a raiz quadrada.

Passo 3

Fazendo a substituição x = 3 tan theta, derivamos ambos os lados em relação a theta para encontrar dx:
dx = 3 sec^2 theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral 3 sec^2 theta , dthetaraiz(3 tan theta)^2 + 3^2

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 tan^2 theta + 9 = raiz9 (tan^2 theta + 1) = raiz9 sec^2 theta = 3 sec theta

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:
integral 3 sec^2 theta , dtheta3 sec theta = integral sec theta , dtheta

Passo 7

Sabemos que a integral de sec theta é:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à variável original x, lembramos que x = 3 tan theta. Então:
tan theta = x3 e sec theta = raiz1 + tan^2 theta = raiz1 + x^29 = raizx^2 + 93

Passo 9

Substituímos sec theta e tan theta na expressão da integral:
ln | raizx^2 + 93 + x3 | + C = ln | raizx^2 + 9 + x3 | + C
Podemos simplificar isso para:
ln |raizx^2 + 9 + x| + C
pois ln 3 pode ser absorvido na constante C.

Resposta

ln ( x + raizx^2 + 9 ) + C

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