A concentração C(t) de uma droga na corrente sangüínea t horas após ter sido injetada é usualmente modelada por uma equação da forma
C(t)=K(e^-b r-e^-a t)a-b
onde K>0 e a>b>0.
Em que momento ocorre a concentração máxima?

Passo 1

O enunciado nos dá a concentração
C(t)=Kl(e^-b t-e^-a tr)a-b,
com K>0 e a>b>0, e pede o instante t em que C(t) atinge o valor máximo. O conteúdo aqui é cálculo de máximo de função de uma variável real, então vamos derivar C(t), achar o ponto crítico e verificar que é máximo.

Passo 2

Derivamos C(t) em relação a t. Como K/(a-b) é constante,
C'(t) =Ka-b,ddtl(e^-b t-e^-a tr) =Ka-bl(-b,e^-b t+a,e^-a tr)

Passo 3

Para encontrar o ponto crítico, igualamos C'(t)=0:
-b,e^-b t+a,e^-a t=0 Longrightarrow a,e^-a t=b,e^-b t Longrightarrow e^-(a-b)t=ba
Tomando logaritmo natural,
-(a-b),t=ln!l(bar) Longrightarrow t=ln(a/b),a-b,

Passo 4

Para garantir que esse ponto é um máximo, observamos que para t<ln(a/b)/(a-b) vale C'(t)>0 e para t>ln(a/b)/(a-b) vale C'(t)<0. Logo a função sobe antes desse t e desce depois, caracterizando um máximo único.

Resposta

O tempo em que ocorre a concentração máxima é
t=lnl(a/br),a-b,

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