Calcule as integrais abaixo.
integral1^3 cos (pi x2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular integral1^3 cos (pi x2) d x. Nesse problema, estamos trabalhando com integrais, mais especificamente, com integrais definidas que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções do tipo cos(kx), onde k é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar a função cos(kx) em relação a x, usamos a seguinte regra básica da integral:
integral cos(kx) , dx = 1k sin(kx) + C
Aqui, C é a constante de integração, que não precisamos nos preocupar agora porque estamos lidando com uma integral definida (com limites de 1 a 3).

Passo 3

No nosso caso, k = pi2. Então, aplicando a regra que vimos:
integral cos(pi x2) , dx = 1pi2 sin(pi x2) + C = 2pi sin(pi x2) + C
Isso significa que a antiderivada de cos(pi x2) é 2pi sin(pi x2).

Passo 4

Agora, como a integral é definida de 1 a 3, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que precisamos avaliar a antiderivada nos limites superiores e inferiores e subtrair:
integral1^3 cos(pi x2) , dx = [ 2pi sin(pi x2) ]1^3 = 2pi sin(3pi2) - 2pi sin(pi2)

Passo 5

Vamos calcular os valores das senos:
sin(3pi2) = -1 e sin(pi2) = 1
Substituindo esses valores na expressão:
2pi (-1) - 2pi (1) = -2pi - 2pi = -4pi

Resposta

A integral integral1^3 cos (pi x2) d x é igual a -4pi.

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