Calcule
, onde
é a bola unitária
Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral tripla sobre uma bola unitária
no espaço tridimensional. A função que vamos integrar é
. O conteúdo aqui envolve cálculo multivariado, especificamente integrais em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para esféricas e usar a fórmula adequada para o volume em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
, que é a bola unitária. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto dentro dessa bola pode ser descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto à origem (0 a 1, já que é a bola unitária). -
: o ângulo no plano (0 a ). -
: o ângulo a partir do eixo (0 a ).
Essa descrição nos ajuda a configurar os limites da integral.
Passo 3
Agora, vamos transformar a função que estamos integrando para coordenadas esféricas. Sabemos que em esféricas:
Então, nossa função fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Portanto, nossa integral tripla fica:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em três partes, já que as variáveis são independentes:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Integral em
:
Aqui, fazemos uma substituição simples:
Seja , então
ou
.
Seja
A integral fica:
Multiplicamos de volta pela constante 3:
Integral em
:
Integral em
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar os resultados das três integrais:
Resposta
A integral tripla vale
.