Calcule integral triplaB 3 cos (x^2+y^2+z^2)^32 d V, onde B é a bola unitária
B=(rho, theta, phi) in R^3 ; 0 <= rho <= 1,0 <= theta <= 2 pi, 0 <= phi <= pi
Resposta: 4 pi sin 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral tripla sobre uma bola unitária B no espaço tridimensional. A função que vamos integrar é 3 cos (x^2+y^2+z^2)^32 . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariado, especificamente integrais em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para esféricas e usar a fórmula adequada para o volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração B , que é a bola unitária. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto dentro dessa bola pode ser descrito por três parâmetros:
  • rho : a distância do ponto à origem (0 a 1, já que é a bola unitária).
  • theta : o ângulo no plano xy (0 a 2pi ).
  • phi : o ângulo a partir do eixo z (0 a pi ).
Essa descrição nos ajuda a configurar os limites da integral.

Passo 3

Agora, vamos transformar a função que estamos integrando para coordenadas esféricas. Sabemos que em esféricas:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2
Então, nossa função fica:
3 cos (rho^2)^32 = 3 cos (rho^3)
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi
Portanto, nossa integral tripla fica:
integral triplaB 3 cos (rho^3) rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em três partes, já que as variáveis são independentes:
3 integral0^1 cos(rho^3) rho^2 , drho times integral0^2pi dtheta times integral0^pi sin phi , dphi
Vamos resolver cada integral separadamente.
Integral em rho :
integral0^1 cos(rho^3) rho^2 , drho
Aqui, fazemos uma substituição simples:
Seja u = rho^3 , então du = 3rho^2 drho ou rho^2 drho = du3 .
A integral fica:
13 integral0^1 cos(u) , du = 13 [sin(u)]0^1 = sin(1)3
Multiplicamos de volta pela constante 3:
3 times sin(1)3 = sin(1)
Integral em theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Integral em phi :
integral0^pi sin phi , dphi = 2

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os resultados das três integrais:
sin(1) times 2pi times 2 = 4pi sin(1)

Resposta

A integral tripla vale 4 pi sin 1 .

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